××××××××××××××××

اهلا بك عزيزي القارئ

الأربعاء، 1 سبتمبر، 2010

بدايات البحث المنطقي


في بداية القرن العشرين، بدا البحث في نظرية الاحتمال ياخذ - الى جانب بعده الرياضي - بعدا فلسفيا منطقيا. وقد سرع في ذلك سير البحث الرياضي عموما نحو الجانب المنطقي. ففي العام (1908)، تعرض الفيلسوف والرياضي الفرنسي «هنري بوانكاريه» (1854 - 1912) الى فلسفة المصادفة في كتابه «العلم والمنهج».
وبين العامين (1910) و (1913)، ظهرت باكورة العمل المشترك بين الفيلسوف الانكليزي «برتراند رسل» (1872 - 1970) واستاذه ومواطنه الرياضي «الفرد نورث وايتهد» (1861 - 1947) في ثلاثة مجلدات باسم «اصول الرياضيات» تاسيسا منهما للمنطق الرياضي. وقد عده بعض الباحثين من اعظم الاعمال الفكرية في تاريخ الفكر البشري ((336))، وكان «راسل» قد سبق ذلك بكتاب «مبادئ الرياضيات» عام (1903).
ثم تعرض «راسل» سنة (1912) لمشكلة الاستقراء في كتابه «مشكلات الفلسفة»، تحت عنوان «في الاستقراء».
وفي عشرينات القرن العشرين، طرح امثال عالم الاحصاء الانجليزي «رونالد فيشر» (1890- 1962) والرياضي النمساوي «ريتشارد فون مايسز» (1883 - 1953) والفيلسوف الفيزيائي الالماني «هانز رايشنباخ» (1891 - 1953) مفاهيم جديدة عن الاحتمال تتفق مع مدلوله الاحصائي لا الاستقرائي.
وسنة (1921) بذل عالم الاقتصاد «جون ماينار كينز» (1883 - 1946) اول محاولة لاعادة احياء مفهوم الاحتمال القديم في كتابه «مقال في الاحتمال» ((337))، وتلاه الجغرافي والفلكي الانجليزي «هارولد جفريز»(1891 - 1989) عام (1939 م) في كتابه «نظرية الاحتمال» في رفضه لمفهوم الاحتمال الاحصائي،والى جانبهم الشاب «فرانك رامزي» (1903 - 1930) متصديا لمحاولات «هيوم» في هدم التجريبية والاستقراء . وقد شكل هؤلاء حركة عرفت باسم «البيزية» نسبة الى العالم متقدم الذكر «توماس بايز». وكان «رامزي» شديد النقد ل«رسل» و «وايتهيد» في كتابهما «اصول الرياضيات»، وقد جمعت مقالاته بعد وفاته ونشرت عام(1931) تحت عنوان «اسس الرياضيات وبحوث منطقية اخرى».
وكان للعالم السوفييتي «اندريه كولموغوروف» (1903 - 1987) عام 1933 دور بارز في تحديد انظمة العد التي تعتمد عليها نظرية الاحتمال، اضافة الى تحديده شروطا يجب ان يحققها الاحتمال، فتحدث عن «الفضاء العيني» و «الاحداث».. وقد عد عمل «كولموغوروف» مساهمة هامة في تطور نظرية الاحتمال.
وفي العام التالي، اي (1934 م)، يطلع علينا فيلسوف العلم النمساوي - الانجليزي «كارل پوپر» (1902 - 1994) بكتابه «منطق البحث» او «منطق الكشف العلمي» - كما اسماه في طبعته الانجليزية - ،والذي لم ير فيه ان الاستقراء دليل مفيد لليقين، بل اعتقد ان الصعوبات المتعددة للمنطق الاستقرائي لا يمكن تخطيها.وكان «پوپر» شديد التحامل على الاستقراء حتى لا تكاد تخلو مقالة او محاضرة له من هجوم على الاستقراء الذي كان يعده خرافة.
وفي العام (1935)، ينشر «هانز رايشنباخ» المتقدم الذكر كتابه «نظرية الاحتمالات»، والذي يبحث فيه حول الاستقراء.
وفي هذه الفترة توالت اعمال مجموعة من العلماء عملوا على التاسيس لبدهيات ((338)) الاحتمال، وكان منهم «فردريك وايزمان» سنة (1931)، «ستيفان مازركيوز» عام (1932)، «جنينا هوزياسون» (1940) و(1941)، «كوپمان» (1940)، «رايت» (1941).
وفي عام (1941) انصرف الفيلسوف الالماني «رودولف كارناپ» (1891 - 1970) الى دراسة الاستقراء ومشكلاته.
وفي هذه الفترة تمكن الفيلسوف الانجليزي «تشارلي دنبر برود» (1887 - 1971) من التاسيس لبدهيتي «الاتصال» و «الانفصال» واللتين نقلهما عنه «رسل» في كتابه الاتي.
وفي سنة (1945)، طلع «كارناپ» بمقالة له تحت عنوان «في المنطق الاستقرائي» نشرها في مجلة «فلسفة العلم»، واخرى عام (1947) تحت عنوان «في تطبيق المنطق الاستقرائي».
وفي عام (1948 م)، يعود «برتراند راسل » الى الساحة مع كتابه «المعرفة الانسانية.. مداها وحدودها» والذي خصص حوالي (80) صفحة منه للبحث حول نظرية الاحتمال. وقد لعب هذاالكتاب دورا بارزا في نقل افكار القارة الغربية الى الشرقية كما ياتي ان شاء الله تعالى.
وفي العام نفسه قدم الفرنسي «پوي سيرفيان» ثلاثة اعمال له حول الاحتمال: «الاحتمالات والفيزياء»، «الاحتمال والكمات» و «الصدفة والرياضيات» (مقال).
ثم اعقبهما «وليم نيل» بعمله «الاحتمال والاستقراء» عام (1949).
وعام (1950) ظهرت احدى اعمق الدراسات حول الاحتمال والاستقراء، وذلك في كتاب «كارناپ» «الاسس المنطقية للاحتمال» الذي تناول فيه المسالة بعمق وتخصص، بعد ان كان «كارناپ» - كما ذكرنا سابقا - قد انصرف الى مشاكل الاحتمال والاستقراء منذ (1941).


وبعد ذلك بعام (1951) نشر «كارناپ» «الطبيعة وتطبيق المنطق الاستقرائي». وفي العام نفسه نشر الدكتور المصري زكي نجيب محمود (1905 - 1993) كتابه المعروف «المنطق الوضعي» الذي تعرض في الفصل الاخير منه الى حساب الاحتمالات، ذاكرا بعض ما عند القوم من نظريات، لكن دون ان ياتي بجديد في المضمار.
وفي عام (1952) اردف «ردولف كارناپ» كتابه السابق ب«سلسلة المناهج الاستقرائية». كما وبحث الفيلسوف الانجليزي المعاصر «پيتر فريديريك ستراوسون» (1919 - ..) مشكلة الاستقراء، محاولا الغاءها في فصل من كتابه «مقدمة نحو النظرية المنطقية».
ولم يكتف «كارناپ» بذلك، فاضاف عام (1955) الى جهوده جهدا آخر في «الاحتمال الاحصائي والاحتمال الاستقرائي».
وعام (1957 م) كتب «سلمون» مؤلفه اي «هل علينا محاولة تبرير الاستقراء؟».
وعام (1965 م) كتب «هاكينغ» مؤلفه «اثبات سلمون للاستقراء»، ثم ناقش «ليفي» «سلمون» و «هاكينغ» معا في «هاكينغ وسلمون حول الاستقراء».
وفي عام(1966) كتب«سكايرمس» مقدمة حول مشكلة «التدليل»، وجمع «فوستر» و«مارتن» معظم المقالات في هذا المجال في كتابهما «Probability, Confirmation and Simplicity».
وفي العام نفسه كتب د. محمود زيدان - الذي صدرت عنه عام (1978 م) الترجمة الموجزة لكتاب «الاسس المنطقية للاستقراء» الى اللغة الانجليزية - كتابه «الاستقراء والمنهج العلمي».


وعام (1967 م)، ناقش «اسحاق ليفي» قواعد القبول الاستقرائية في كتابه «المقامرة مع الحقيقة».

للمزيد من مواضيعي

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية هي الوسط والوسيط والمنوال


خواص الوسط الحسابي
يعتمد على جميع القيم والمشاهدات

هو نقطة اتزان المشاهدات

مربع الانحرافات اقل ما يمكن عن الوسط

اقل مقاييس النزعة المركزية تأثرا بالتقلبات العينية

يتأثر بالقيم المتطرفة والقيم الشاذة لذا لا يصلح للتوزيعات الملتوية

لا يصلح في حالة الفئات المفتوحة ( لعدم وجود مركز فئة)

خواص الوسيط
لا يتأثر بالقيم المتطرفة

يستخدم في التوزيعات الملتوية

يفضل استخدامه في حالة الفئات المفتوحة

يأتي بعد الوسط في تأثره بالتقلبات العينية

خواص المنوال
غير ثابت

يتأثر بطول الفئة

يفضل عندما يكون المقياس اسمي

لا يعتمد عليه في حالة الاحصاءات اللاحقة

للمزيد من مواضيعي

رسم المنحيات

أي منحنى للدالة د ( س ) هو عبارة عن مجموعة من النقط ( س ، د ( س ) ) = ( س ، ص ) واي نقطة من المنحنى يجب أن تحقق المعادلة ص = د ( س )
ولرسم منحنى الدالة د لابد أن نتبع الخطوات التالية :
œ نعين مجال الدالة د ( س ) :

مجال الدالة : هي القيم التي تكون الدالة معرفة عليها
مجالات بعض الدوال :
? دالة كثيرة الحدود مجالها H? دالة المقياس مجالها H
? دالة الصحيح مجالها H
? الدالة الكسرية مجالها معرف بشرط أن المقام ¹ 0 أي أن المجال = H - { اصفار المقام }
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر أكبر أويساوي الصفر ( £ ) إذا كانت في البسط
? الدالة الجذرية ذات اس زوجي
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر أكبر الصفر ( > ) إذا كانت في المقام

معرفة " سHL ( أي ان مجالها H ) إذا كانت في البسط
? الدالة الجذرية ذات اس فردي
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر ¹ 0 ( أي أن مجالها H - { اصفار المقام } )
إذا كانت في المقام
œ التناظر :

( أ ) الدالة الزوجية : المنحنى متناظر حول محور الصادات وشرطها :





د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعوض عن قيم س بـــ ( - س ) فإذا كانت د ( - س ) = د ( س ) كانت الدالة زوجية
مع ملاحظة :
س ن عندما ن عدد زوجي
1) ليكن س 'H فإن ( - س )ن =
- س ن عندما ن عدد فردي
2) ô - س ô = ô س ô ، جــــتــــا ( - س ) = جــــتــــا ( س )
3) ظــــــا ( - س ) = - ظــــــا س ، جـــــــا ( - س ) = - جـــــــا س
وهنا في الدالة الزوجية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول المحور الصادي

( ب ) الدالة الفردية : المنحنى متناظر حول نقطة الأصل وشرطها :





- د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعكس الإشارة لقاعدتها ونقارنها بـــ د ( - س ) فإذا كانت - د (س ) = د (- س ) كانت الدالة فردية
مع ملاحظة :
1) - د ( س ) أي نعكس إشارة الدالة إذا كانت دالة كثيرة حدود
2) في الدالة الكسرية نعكس اشارة البسط أو المقام على حسب المراد تغيير اشارتها
3) في دالة المقياس والدالة الجذرية لايمكن الضرب بإشارة ( - ) لذا نكتفي المقارنة لإيجاد - د ( س ) بـ ( - || ) أو( - )
4) لايمكن ان تكون الدالة زوجية وفردية في نفس الوقت

X

X

X

وهنا في الدالة الفردية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول نقطة الأصل ويتم ذلك اجراء نصف دورة حول نقطة الأصل ( أو التناظر حول محور الصادات يليه تناظر حول محور السينات )


S

ص = س2
س2 + 1

S

ص = س2


دوال زوجية

S

ص = جـتا س


ط
2


- ط
2









X

X

X


S

ص = س3


دوال فردية

S



ص = جــا س


ط



دوران مقداره 180


S

ص = س
س2 + 1










œ نقط التقاطع مع المحورين :





G نقط التقاطع مع المحور الصادي ( X ) : نضع س = 0

فيكون ( 0 ، ص1 ) ، ( 0 ، ص2 ) ، ......... ، ( 0 ، صن ) هي نقط التقاطع مع المحور الصادي



A نقط التقاطع مع المحور السيني ( S ) : نضع ص = 0

فيكون ( 0 ، س1 ) ، ( 0 ، س2 ) ، ......... ، ( 0 ، سن ) هي نقط التقاطع مع المحور السيني

œ نعين القيم العظمى والصغرى المحلية :

نوجد النقط الحرجة للدالة د ( س ) وذلك بوضع دَ ( س ) = 0 أو دَ ( س ) كمية غير معرفة ثم دراسة اطراد الدالة عن طريق دراسة اشارة دَ ( س ) ومنه استنتاج القيم العظمى والصغرى المحلية إن وجدت
وهنا لابد أن نلاحظ لدراسة النقط الحرجة للدالة د ( س ) :
1) نضع دَ ( س ) = 0 في { دالة كثيرة الحدود أو في الدالة الجذرية والواقعة في البسط }
2) في الدالة التي يتغير عندها تعريف الدالة ( مثل دالة المقياس )
* دَ ( س ) = 0 في الفترات الجزئية المفتوحة
* دَ ( س ) كمية غير معرفة عند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة والتي تكون عندها غير قابلة للإشتقاق { مثل جذور المقياس }
3) في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) = 0 وهذ1 معناه ( أن البسط = 0 )
مع ملاحظة إذا كان البسط = عدد ، من المستحيل ان البسط = 0
إذا لم يوجد امكانية أن دَ ( س ) = 0 في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) غير معرفة وهذا معناه ( أن المقام = 0 )
وهنا شرط اساسي لجميع النقط الحرجة لابد ان تنتمي لمجال الدالة د ( س ) على فترة مفتوحة


أو هنالك طريقة اخرى لإيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية :
وذلك بتحديد النقط التي تجعل دَ ( س0 ) = 0 وبعد ذلك نعوض عن قيم س0 في دً ( س ) فإذا كانت :
دً ( س 0 ) > 0 s د ( س 0 ) قيمة صغرى محلية
دً ( س 0 ) < face="Zawawi">s د ( س 0 ) قيمة عظمى محلية

وهنا لابد ان نلاحظ لقاعدة الإشارات :
1) الدالة الخطية ص = A س + ب دالة من الدرجة الأولى الدالة تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها

A > 0 الدالة موجبة فقط بين جذريها سالبة
م > 0 ( أي نعكس الإشارة لــ A بين الجذرين )
2) الدالة من الدرجة الثانية A <>
ص = A س2 + ب س + جـ
A > 0 الدالة موجبة
م G 0
A <>
( مع ملاحظة دالة : س2 + عدد ¹ 0 ودائماً موجبة )
موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
3) ( س ) ن
تعامل كأنها دالة خطية إذا كانت الأس ن عدد فردي ( لاحظي جذرها = صفر )

موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
4) ( د ( س ) ) ن
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت الأس ن عدد فردي


ن موجبة إذا كانت جذر تربيعي أو بجذر زوجي
5) د ( س ) =
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت االجذر بإس عدد فردي

6) دالة المقياس في الأصل موجبة ولكن لابد من اعادة تعريفها ودراسة اشارتها
7) في دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة تحلل إلى دالتين من الدرجة الأولى ودالة من الدرجة الثانية مع ملاحظة :
دالة من الدرجة الثانية م <>
س3 ± عدد = 3
دالة خطية : س ± عدد (تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها )
وفي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة تحلل إلى دالتين من الدرجة الثانية
8) في الدالة الكسرية ندرس اشارة البسط واشارة المقام ثم نوجد اشارة الناتج
9) لدراسة اشارة العدد إذا كانت العدد موجب فهو موجب وإذا كان العدد سالب فهو سالب

œ دراسة التقعر ونقط الإنقلاب :

وذلك بتحديد النقط الحرجة لــ دَ ( س ) وذلك بوضع دً ( س ) = 0 أو دً ( س ) كمية غير معرفة
ثم دراسة تقعر الدالة بدراسة اشارة دً ( س ) ومنه نستنتج اتجاه تقعر المنحنى وتحديد نقط الإنقلاب إن وجدت حيث :
دً ( س ) > 0 s المنحنى مقعر لأعلى
دً ( س ) < >s المنحنى مقعر لأسفل





œ نعين الخطوط التقاربية :
الخطوط التقاربية : هي المماسات للمنحنى في اللانهاية وتنقسم إلى ثلاث خطوط تقاربية
G الخطوط التقاربية الأسية :
إذا كانت الدالة ص = د ( س ) وامكن ايجاد عدد A L H بحيث تجعل الدالة غير معرفة أي نــــــهـــا د ( س ) = ±m


سA¬
فإنه يوجد خط تقاربي رأسي معادلته س = A لأنه رأسي ( س = العدد الذي يجعل الدالة د ( س ) غير معرفة )
A الخطوط التقاربية الأفقية :
إذا كانت الدالة ص = د ( س ) وامكن ايجاد عدد جـ LH بحيث عند التعويض عن قيم س عندما تؤول إلى ±m
أي ان س ¬±m تعطي تعطي عدد أي ان نــــــهـــا د ( س ) = جـ
س m±¬



فإنه يوجد خط تقاربي افقي معادلته ص = جـ لأنه خط افقي
ملاحظات مهمة على الخط الأفقي :
1) إذا كانت درجة البسط = درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = معامل س ذات اكبر اس في البسط
س m±¬ معامل س ذات اكبر اس في المقام





أي أن ص = = معامل س ذات اكبر اس في البسط
معامل س ذات اكبر اس في المقام

2) إذا كانت درجة البسط > درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = m ( أي انه لايوجد خط تقاربي افقي )
س m±¬
3) إذا كانت درجة البسط < درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = صفر
س m±¬
أي انه الخط التقاربي الأفقي s ص = صفر

B الخطوط التقاربية المائلة :


وهو الخط المستقيم الذي يقترب منه منحنى الدالة ص = د ( س ) كلما ابتعدنا عن نقطة الأصل في اتجاه احد طرفي المستقيم أو كليهما وتكون معادلته
ص = A س + ب دالة خطية ، وللرسم نعوض عن قيم س لإيجاد قيم ص بفرض نقاط

( أي ان عندما س m±¬s ص = A س + ب )
ويتحقق الخط التقاربي المائل في الدالة الكسرية التي تكون درجة البسط اكبر من درجة المقام بدرجة واحدة فقط
كيفية الحصول علية :
ويمكن الحصول عليه من قسمة بسط الدالة على مقامها ويكون الناتج ( خارج القسمة ) هو معادلة الخط التقاربي المائل



أي أن ص = ناتج القسمة دالة خطية خط تقاربي مائل

ملاحظات هامة ( خواص الخطوط التقاربية ) :
1) لا توجد خطوط تقاربية لدوال كثيرة الحدود ودالة المقياس لأنها دوال معرفة " س HL
2) لايوجد اكثر من نوعين من الخطوط التقاربية لاي دالة
3) وجود الخط التقاربي الافقي يمنع وجود الخط المائل والعكس صحيح فوجود المائل يمنع وجود الأفقي
4) يوجد خط تقاربي مائل في حالة واحدة فقط وهي أن تكون درجة البسط اكبر من درجة المقام بدرجة واحدة فقط
5) إذا كان درجة البسط اكبر من درجة المقام بأكثر من درجة فلا يوجد خط تقاربي مائل او افقي
œ تحديد نقاط مساعدة في رسم المنحنى :
فرض قيم لـ س لإيجاد قيم لـ ص ثم تحديد النقط على المستوى
œ تكوين جدول يلخص النقاط التي استنتجت سابقاً

للمزيد من مواضيعي

أسئلة تقويميةفي الدوال

هذه نماذج من أسئلة التقويم لاسترجاع مفاهيم درست في الدوال العددية:
1) أذكر طريقتين من طرق البحث عن نقطة الإنعطاف(الإنقلاب) للدالة تا.
2) كيف تبرهن أن المعادلة تا(س) = 0 تقبل حلا وحيدا في مجال(فترة) هي (أ،ب)؟
3) ماهي طرق إثبات أن المستقيم ذا المعادلة: س= أ محور تناظر لبيان الدالة تا ؟
4) متى تكون النقطةهـ(أ، ب) مركز تناظر لبيان تا؟
5) متى تكون النقطةهـ(أ، ب) نقطة حدية في بيان تا؟
6) متى تكون النقطةهـ(أ، ب) نقطة زاوية لبيان تا؟
7) هل كل دالة مستمرة( متصلة) هي قابلة للإشتقاق؟ هات مثالا على جوابك.
8) كيف تبرهن على وجود نهاية حدية محلية لدالة تا؟
9) كيف نبرهن ان بيان تا يقبل مماسا معامل توجيهه(ميله م) ؟
10) متى تقبل الدالة تا دالة أصلية على مجال ف؟

الدوال المثلثية


سنبدأ بتعريف الدوال المثلثية لزاوية حادة (بين و ) إذا أعطينا مثلثين قائمين و بهما و فإنهما متشابهين ( ) وبالتالي فإن الأضلاع المتقابلة لها نفس النسب. هذه النسب تعطينا الدوال المثلثية للزاوية و هي (بالرجوع إلى الشكل1)
1) دالة الجيب تنطق ساين و تختصر هذه هي المقابل على الوتر
2) دالة جيب التمام تنطق كوساين و تختصر و هي المجاور على الوتر


3) دالة الظل تنطق تانجينت و تختصر و هي المقابل على المجاور
4) دالة القاطع تنطق سيكانت و تختصر و هي الوتر على المجاور
5) دالة قاطع التمام تنطق كوسيكانت و تختصر و هي الوتر على المقابل
6) دالة ظل التمام تنطق كوتانجينت و تختصر

الشكل 1

لاحظ أن لدينا
و و و
أيضا بما أن من فيثاغورس فبالقسمة على نحصل على العلاقة الأساسية بين الجيب و جيب التمام و هي و بالقسمة على نحصل على و بالقسمة على نحصل على فيما يلي سنرى تكرر الارتباط بين و و بين و .
هناك زوايا مهمة يجب أن نذكر قيم الدوال المثلثية عندها و هي
الشكل 2

1) : المثلث القائم الذي أحد زواياه سيكون متساوي الساقين و بالتالي فإن و من فيثاغورس إذاً و
2) المثلث متساوي الأضلاع جميع زواياه (متساوية و مجموعها ) منصف زاوية الرأس سيكون المنصف العمودي للضلع المقابل (من ) إذا لدينا حيث طول الضلع في المثلث الأصلي أن الضلع المقابل للزاوية هو و المقابل للزاوية هو (من فيثاغورس) إذا و و و و و
قبل أن نستمر يجب أن نناقش أمرين. الأول هو قياس الزوايا و الثاني هو تعميم التعريف إلى زواياً غير حادة. بالنسبة للمقياس فالقياس بالدرجات و الدقائق و الثواني تقسيم قديم يعود إلى البابليين و أصبح راسخا لا يمكن تجنبه مع أنه بدون مبرر رياضي فهو ليس أفضل من تقسيم الدائرة إلى و حدة و تقسيم كل منها إلى وحدة. رياضيا القياس الجيد هو القياس الدائري حيث تتحول إلى دائري حيث هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. لاحظ أن عدد غير قياسي (فالقيمة تقريب جيد فقط). لنحول من الدرجات إلى الدائري كلما علينا هو إبقاء نفس النسبة أي إبقاء نسبة الزاوية بالدرجات إلى تساوي نسبة الزاوية بالدائري إلى أي حيث هو مقياس الزاوية بالدرجات و هو مقياسها بالدائري. فمثلا بالدائري هي من الزوايا الأخرى التي سنستخدمها
الشكل 2

بكثرة لدينا و و و و الخ. هناك عدة أسباب لأهمية المقياس الدائري نذكر منها
1) سهولة التعبير عن طول القوس فلدينا هو طول قوس الدائرة الذي زاويته حيث هو نصف القطر
2) سهولة التعبير عن مساحة القطاع المحدد بالقوس فلدينا
3) إذا كانت صغيرة فإن و كلاهما قريبين من قيمة (بالدائري) مثلا إذا فإن و في الواقع لدينا أن الشكل 4 يعطي التفسير الهندسي لهذه المتباينة
4) باستخدام المتباينة في 3 سنجد أنه من الممكن الحصول على تعبير بسيط لمماس الدوال المثلثية. مثلا ميل المماس للدالة عند هو
ملاحظة: بما أن حيث هو المقياس بالدائري و هو المقياس بالدرجات فإن المعادلات أعلاه تتحول إلى و و فيظهر لنا المعامل لتجنب هذا و غيره من الأسباب سنستخدم المقياس الدائري و لكننا سنستخدم أيضا الدرجات
الشكل 6

الشكل 5

قوانين المكملة: بما أن مجموع زوايا المثلث هو فالزاويتين الحادتين في المثلث القائم هما هذا يعطينا أن مقابل الأولى هو مجاور الثانية و العكس و من هذا نجد أن و و و و و
الشكل 7

الآن سننظر إلى تعريف الدوال المثلثية عامة. لنعمل ذلك نلاحظ أنه إذا كانت و ابتداء من النقطة قطعنا على دائرة الوحدة في اتجاه معاكس لاتجاه عقارب الساعة فإننا سنصل إلى نقطة زاويتها مع محور هي و بالتالي فإحداثياتها هي و فنستطيع تعميم هذه فنعرف الدوال المثلثية كالتالي ابتداء من اقطع مسافة على دائرة الوحدة اجعل النقطة التي تصلها تجد أن و و و و و . للقيم السالبة نقطع المسافة في الاتجاه المتوافق مع اتجاه عقارب الساعة. لاحظ أنه عند ستكون و بالتالي فإن ليست معرفة عند هذه الزوايا و حيث عندما فإن ليست معرفة عند هذه الزوايا. لنحسب قيمة الدوال المثلثية عند زاوية نوجد الزاوية الحادة بين خط الزاوية (الخط الذي نصل إلية بعد الدوران) و محور قيم الدوال المثلثية عند الزاوية الأصلية هي إلى إشارة قيم نفس الدوال عند هذه الزاوية الحادة و نحدد الإشارة من معرفتنا إشارة و في الأرباع المختلفة.
الشكل 8

هناك بعض العلاقات المهمة التي سنذكرها هنا ( انظر الشكل8)
1) قوانين سالب الزاوية ( جيب التمام و القاطع زوجية و بقية الدوال فردية) إذا كانت النقطة عند هي فإن النقطة عند هي فإشارة الدال التي تعتمد فقط على و هي و مقلوبها تبقى كما هي و تنعكس إشارة بقية الدوال



2) قوانين التناظر بالنسبة لنقطة الأصل (الدوال التي لا تتغير هي الظل و ظل التمام و تنعكس إشارة بقية الدوال) إذا كانت النقطة عند هي فالنقطة عند هي و بالتالي فالدوال التي لا تتغير هي التي تعتمد على نسبة و أي و فلدينا من هذه المجموعتين نحصل على قوانين المتممة
3) الجيب و مقلوبها هي الدوال التي لا تتغير بأخذ المتممة و تنعكس إشارة بقية الدوال


من القوانين المهمة التي تربط الهندسة بحساب المثلثات قانون الجيب. سنشتق هذا القانون بطريقتين كل منهما يعطينا معلومات ليست محتواة في الأخرى. الأولى تعتمد على قانون المساحة و هو
الشكل 9

أي المساحة هي حاصل ضرب جانبي الرأس بجيب زاويته (انظر الشكل9) هذا القانون صحيح للزوايا المنفرجة أيضا لأن و بضرب الحدود في نحصل على الصيغة الأولى لقانون الجيب و هي و هو قانون الجيب.
نقطة الضعف في هذه الصيغة هي أنها لا تعطينا تفسيرا هندسيا لهذه النسبة
الشكل 10


في الصيغة الثانية سنستخدم قواعد الزاوية المقامة على قوس فنأخذ الدائرة الخارجة للمثلث و نرسم القطر المثلث سيكون قائم الزاوية حيث إذا كانت الزاوية حادة فإن و بالتاي فمن المثلث نجد أن و إذا كانت الزاوية منفرجة فإن و مرة أخرى طبعا إذا كانت فإن و هذا يعطينا العلاقة و نفس العلاقة تنطبق للزوايا الأخرى و بالتالي فإن
مثال 2: باستخدام العلاقتين أعلاه لقانون الجيب نستطيع الحصول بسهولة على العلاقة بين نصف قطر الخارجة و مساحة المثلث فلدينا أن
الشكل 11


من أهم العلاقات علاقة جمع و طرح الزوايا. سنعطي عددا من الاشتقاقات لهذه العلاقة. سنبدأ باستخدام نظرية بطليموس (حاصل ضرب قطري الرباعي الدائري يساوي مجموع حاصل ضرب طولي ضلعين متقابلين) قبل أن نعمل ذلك لاحظ أن لدينا التفسير التالي لدالة الجيب. بما أن فلو رسمنا مثلثا طول قطر دائرته الخارجة هو فإن جيب أي زاوية في المثلث تساوي طول الضلع المقبل (أي ).
ارسم دائرة قطرها و اجعل قطر في هذه الدائرة و ارسم على جانبي هذا القطر الوترين و حيث و عندها نجد أنه في الرباعي الدائري لدينا هذه علاقة جمع الزوايا لدالة الجيب و منها نستطيع أن نحصل على العلاقات الأخرى مثلا ( الشكل 12 يعطي استنتاجا آخر ممكن لهذه العلاقة الدائرة في هذا الشكل قطرها ) هناك عدد من الاستنتاجات الأخرى لقانون جمع الزوايا سنذكر منها اثنتان لأننا نريد استنتاج هذه القاعدة بصورة مستقلة عن نظرية بطليموس ثم نستخدمها لنشتق تلك النظرية (في وقت تالي)
الشكل 12


الشكل 13 يعطينا اشتقاقا آخر لقانون جمع الزوايا هنا رسمنا مثلثا قائماً به الزاوية ثم رسمنا على قطره مثلثاً به ساق زاويته المجاورة إذا كملنا المستطيل ( بتمديد و رسم موازيا له و موازيا للضلع ) نجد و و و لتبسيط الحساب سنفترض أن
1) من لدينا أيضا و منه إذا
2) لدينا أن و و منه نجد
كطريقة ثالثة للوصول إلى قانون الجمع سننظر أولا إلى قانون جيب التمام





الشكل 14

قانون جيب التمام في المثلث لدينا (مربع الضلع يساوي الفرق بين مجموع مربعي الضلعين الآخرين و ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية بينهما)
الإثبات: اجعل مسقط العمودي على لاحظ أن (صحيح لجميع قيم ) و لدينا (من المثلث ) أن حيث هو الارتفاع من . إذا (من المثلث ) نجد أن
ملاحظة:1)عندما نجد و قانون جيب التمام يصبح قانون فيثاغورس و عندما فإنه يصبح و عندما فهو
2) نستطيع إعادة كتابة قانون جيب التمام على الشكل
ملاحظة: فيما بعد سنرى أن قانون جيب التمام يعطينا عددا من النتائج المهمة

الشكل 15

لنرى كيف نحصل على قانون الجمع نأخذ النقطة التي تمثل الزاوية و تلك التي تمثل الزاوية الزاوية بين ضلعيهما هي من نظرية جيب التمام نجد أن المسافة بينهما هي و لكن هذه المسافة هي و بعد التبسيط نجد أن هذا هو و بمساواة الطرفين نجد أن
من هذه (أو من أي من قوانين أو أو ) نستطيع اشتقاق بقية القوانين فمثلا من القانون أعلاه نجد أن


تمرين 1:أ) باستخدام شكل مشابه للشكل 16 استنتج قانون
ب) باستخدام قانون استنتج قانون و و

من قانوني و قانوني نستطيع استنتاج بقية قوانين جمع و طرح الزاوية وهي
مثلا و بقسمة البسط و المقام على نحصل على المطلوب
كذلك و بقسمة البسط و المقام على نحصل على المطلوب
بأخذ في القوانين أعلاه نحصل على قوانين ضعف الزاوية و هي


في الغالب هذه مباشرة عدى المتطابقات للجيب و جيب التمام و نحصل على هذه كالتالي و و و

من قوانين ضعف الزاوية نحصل على قوانين نصف الزاوية و هي
من هذه قانون الجيب و جيب التمام تتبع مباشرة من قانون و نشتق قانون الظل كالتالي المتطابقة الثانية تتبع من كون قوانين تتبع بأخذ المقلوب لمتطابقات
كذلك نستطيع استنتاج قوانين الجمع إلى ضرب و هي
هذه تتبع بتطبيق قوانين جمع و طرح الزوايا على و مع ملاحظة أن و و فمثلا باستخدام هذه على دالتي الجيب نحصل على
بطريقة مشابهة نستطيع الحصول على قاعدة جمع أخيرا لاحظ أن و منه تتبع قاعدة (الجزء الثاني يتبع مباشرة من معادلة )
بطريقة مشابهة نحصل على قواعد الطرح إلى ضرب
فمثلا نجد أن
و من تتبع المتطابقة الأخيرة.

أيضا لدينا قوانين الضرب إلى جمع
هذه القوانين تتبع مباشرة بأخذ مفكوك الطرف الأيمن فلدينا أن
أخيرا لدينا معادلات ثلاثة أضعاف الزاوية
و هذه تتبع بسهولة من قوانين الجمع و قوانين ضعف الزاوية. فنجد

تمارين:
1)
أ) أوجد (اقتراح: )
ب) أوجد
ت) أوجد
2) أعطيت أن أثبت أن و
3) بسط التعبير
4) أثبت أن
5) أثبت أن
6) أثبت أن
7) أثبت أن

ملخص القوانين


قوانين التعريف
و و و

قوانين فيثاغورس
و و
قوانين المكملة
و و و و و
أخذ المكملة يقلب إلى (و العكس) و كذلك يبدل و
سالب الزاوية

الدوال التي لا تتأثر باستبدال الزاوية بسالبها (أي الزوجة) هي و مقلوبها
التناظر بالنسبة لنقطة الأصل

الدوال التي لا تتأثر بإضافة هي و مقلوبها
قانون المتممة

الدوال التي لا تتأثر باستبدال الزاوية بمتممتها هي و مقلوبها
قانون المساحة
قانون الجيب
قانون جيب التمام
قوانين الجمع و الطرح
قوانين الجمع و الطرح (تتمه)
قوانين ضعف الزاوية
قوانين نصف الزاوية
قوانين الجمع إلى ضرب
قوانين الطرح إلى ضرب
قوانين الطرح إلى ضرب (تتمه)
قوانين الضرب إلى جمع
قوانين ثلاثة أضعاف الزاوية
للمزيد من مواضيعي

القطوع المخروطية

الباب الأول ( القطوع المخروطية)
القطع المكافئ

أهداف الدرس
1) أن يتذكر الطالب صفات القطع المكافئ
2) أن يتذكر الطالب حالات القطع المكافئ
3) أن يوجد الطالب صفات القطع المكافئ إذا علمت معادلته
4) أن يوجد الطالب معادلة القطع المكافئ إذا علمت بعض صفا
م
المعادلـــــــــــــــــــــــة
الصفـــــــــــــــــــــــــــــــــــات
الرأس البؤرة الدليل المحور الفتحة
الرسم
1
ص2 = 4أ س
(0,0) (أ , 0) س=- أ ص=0 س+



2
ص2 = -4أ س
(0,0) (- أ, 0) س= أ ص= 0 س-



3
س2 = 4أ ص
(0,0) (0,- أ) ص=- ا س= 0 ص+



4
س2= -4أ ص
(0,0) (0 , أ) ص = أ س = 0 ص-



5
(ص-هـ)2 =4أ(س- د)
(د,هـ) (د+أ,هـ) س=د- أ ص=هـ س+




6
(ص- هـ)2=-4أ(س– د)
(د , هـ) (د-أ ,هـ) س= د+أ ص= هـ س-





7
(س-د)2=4أ (ص- هـ)
(د, هـ) (د,هـ+أ) ص =هـ-أ س= د ص+




8
(س-د)2=-4أ( ص– هـ)
(د, هـ) (د,هـ- أ) ص=هـ+ أ س= د ص-






ملاحظات هامة
1- أ دائما موجبة

2- الرأس ينصف دائما البعد بين البؤرة والدليل.
3- البعد بين الرأس والبؤرة= البعد بين الرأس والدليل= أ
4- البعد بين البؤرة والدليل= 2أ
5- البؤرة تقع دائما داخل تجويف القطع
6- المحور يمر بالبؤرة والرأس ويعامد الدليل.



خطوات استنتاج معادلة القطع المكافئ:
1- نضع المعادلة بالصورة القياسية
2- نوجد من المعادلة قيمة أ وأحداثي نقطة الرأس
3- نكتب الصفات المطلوبة



خطوات استنتاج معادلة القطع المكافئ:
1- نرسم القطع ونحدد اتجاه فتحته
2- نكتب الصورة القياسية المناسبة لمعادلة القطع
3-نحدد قيمة أ و الرأس ( د , هـ)
4- نعوض في الصورة القياسية عن الرأس وقيمة أ 0
تمارين






1-ضع المعادلات الأتيةفي الصورة القياسية ثم استنتج صفات القطع وارسمة:
أ‌) 2س2 – 8 ص =0
ب‌) (ص + 1 )2 = 4 س – 8
جـ) ص2+ 2ص – 4س + 5 = 0
2- أوجد القطع المكافئ في الحالات التالية:
أ‌) الرأس ( 3 , 3 ) , البؤرة ( 3 , 1 )0
ب‌) البؤرة ( 5 , 3 ) و الدليل ص = -1
جـ) الرأس ( 1 , 4 ) ويمر بنقطة الأصل ومحور تناظره يوازي المحور الصادي0
3- أكمل الفراغات التالية:
( ص - ....)2 = ....( س – 1 ) تمثل معادلة قطع مكافئ رأسه النقطة (... , 4 ) وبؤرته النقطة
( 0 , .... ) ومعادلة دليله المستقيم س = ..... , ومحوره المستقيم ص = .... وفتحته جهة.......
4- أختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس:
أ‌) ( ص – 2 )2 = 4 ( 3 – س ) معادلة قطع مكافئ فتحته جهة.......
س+ ,س- , ص+ ,ص-
ب‌) ص2 = 8( س –2 ) معادلة قطع مكافئ ومعادلة دليله هي......
س = 0 , ص = 0 , س = 4 , ص = - 4



ثانيا القطع الناقص

اهداف الدرس:
1- أن يتذكر الطالب صفات القطع النقص.
2- أن يتذكر الطالب الصورة القياسية للقطع الناقص
3- أن يوجد الطالب الصورة القياسية للقطع إذا علمت بعض صفاتة
4- أن يوجد الطالب صفات القطع الناقص إذا علمت معادلتة


م

المعادلة
الصفات

المركز البؤرتين البعد المحور المحور معادلتي

البؤري الأكبر الأصغر المحورين

الرســـــــــــم


1
س2 + ص2 = 1
أ2 ب2

(جـ,0) 2أ س=0

(0,0) (- جـ,0) 2جـ يوازي س 2ب ص=0

2
ص2 + س2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (0, جـ) 2أ س= 0

(0,- جـ) 2جـ يوازي ص 2ب ص=0


3
(س-د)2 + ( ص-هـ)2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د+جـ,هـ) 2أ س = د

(د- جـ,هـ) 2جـ يوازي س 2ب ص = هـ



4
(ص-هـ)2+ (س- د)2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د,هـ+ج) 2أ 2ب س= د

(د,هـ-ج) 2جـ يوازي ص ص = هـ




ملاحظات هامة:
1- أ , ب , جـ موجبة دائما , أ اكبر منهما
2- جـ2 = أ2 – ب2
3- مركز القطع الناقص ينصف البعد بين البؤرتين, ينصف البعد بين نهايتي المحور الأكبر, ينصف البعد بين نهايتي المحور الأصغر0
4- المحور الأكبر ( المحور البؤري) لوقوع البؤرتين عليه.




1-ضع المعادلات التالية في الصورة القياسية واستنتج صفات القطع وارسمه
أ‌) 9 س2 + 16 ص2 – 144 =0
ب‌) 4 ( س – 6)2 + 9 ( ص + 4 )2 = 36
ج) 4 س2 + 9 ص2 – 48 س + 72 ص + 144 =0

2- أوجد معادلة القطع الناقص في الحالات التالية:
أ‌) مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه ( 3 , 0 ) , طول محوره الأصغر 8 وحدات0
ب‌) معادلتا محوريه س = 3 , ص = 2 ,إحدى بؤرتيه ( 3 , -2 ),طول محوره الأكبر 10 وحدات


ج) مركزه نقطة الأصل , محوره الأكبر هو محور السينات , يمر بالنقطتين (4 , 3 ),(6, 3)0
3- أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه (-4 ,5) ,(2 , 5) , ب = 1
أ 2
4- أوجد معادلة القطع الناقص الذي نهايات محوريه هي:

(2, 1 ) , ( 4 , 4 ) , ( 2 , 7 ) , ( 0 , 4 )
5- أ وجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه ( 2 , 3 ) وطول محوره الأكبر 10وحدات و يوازي محور
السينات و إحدى بؤرتيه تقع على المستقيم ص = 2س – 9 0

6- أ وجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه هو رأس القطع المكافئ الذي معادلته :
ص 2 + س 2 – 18 س – 6 ص + 65 =0 و إحدى بؤرتيه تبعد عن مركزه 6 وحدات

7- اكمل كلا مما يلي:
القطع الناقص الذي معادلته 9 س2 +4 ص2 +3 = 4 فإن:
أ) صورته القياسية ......... + ......... = 1
ب) مركزه النقطة ( ......, ....... )
جـ) بؤرتاه هما النقطتين (....., ..... ) , ( ..... , ..... )
د) بعده البؤري ........... وحدات طول












القطع الزائد
اهداف الدرس:
1- أن يتذكر الطالب صفات القطع الزائد
2-أن يتذكر الطالب الصورة القياسية للقطع الزائد
3-أن يوجد الطالب الصورة القياسية للقطع إذا علمت بعض صفاته
4-أن يوجد الطالب صفات القطع الناقص إذا علمت معادلته

م

المعادلـــــــــــــــــــــــة
الصفـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــا ت


المركز الرأسين البؤرتينالبعد المحورمعادلتي معادلتي
البؤري القاطع محوريه خطي التقارب

الرســـــــــم

1

س2ص2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (=أ,0) (=جـ,0) 2جـ 2أ س= 0 ص= =ب س
أ
ص= 0


2

ص2 س2 = 1
أ2 ب2

(0,0) (0 , = أ) ( 0, = جـ) 2جـ 2أ س = 0 ص= = أ س
ص = 0 ب



3

(ص –هـ)2 – ( س- د )2 = 1
أ2 ب2

(د,هـ) (د=أ,هـ) (د=جـ,هـ) 2جـ 2أ س=د (ص- هـ)=
ص=هـ = ب (س- د)
أ


4

(س – د)2(ص – هـ)2 = 1
أ2 ب2

( د , هـ) (د,هـ=أ) (د, هـ=جـ) 2جـ 2أ س= د (ص-هـ) =
ص=هـ = أ (س- د)
ب



ملاحظات هامة :
1- أ , ب , جـ موجبة دائما وأكبرها جـ
2- جـ2 = أ2 + ب2
3- مركز القطع الزائد ينصف البعد بين الرأسين , وينصف البعد بين البؤرتين0
4- المحور البؤري هو المحور القاطع والمحور الغير بؤري هو الغير قاطع0


1- أختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس:
أ‌) س2 _ ( ص )2 =1 هي معادلة قطع زائد طول بعده البؤري............
9 ( 4 )
2 13 أ, 10 أ, 8 أ, 6 وحدات
ب) ص2 _ س2 = -2 هي معادلة قطع زائد طول محوره القاطع........
8 32

16 أ, 8 , 4 , 1

2- ضع المعادلات التالية علي الصورة القياسية
أ) 9 ص2 – 16 س2 + 144 =0
ب)( ص – 2 ) 2 – 4 س2 = -4
جـ) 5 س2 – 4ص2 +20 س +8 ص = 4
3- أوجد معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية:
أ‌) خطاه المتقاربان ص = ± 2 س ورأساه هما (± 6 , 0 )
ب‌) رأساه (± 4 , 0 ) وبؤرتاه هما (± 8 , 0 )
جـ) بؤرتاه (± 5 , 0 ) وطول محوره القاطع 8 وحدات
د ) مركزه ( 2 , -4 ) وإحدى بؤرتيه ( 7 , -4 ) وطول محوره القاطع 8 وحدات
هـ) إحدى بؤرتيه (10 , 12 ) ومعادلتا محوريه س = 10 , ص = 7
4-أوجد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره القاطع 4 وحدات وإحدى بؤرتيه ( 3 , -5 ) وإحدى
نقطتي تقاطعه مع المحور ( 3 , 1 ) والمركز بينهما0
5- أوجد معادلة القطع الزائد الذي رأساه هما نهايتي المحور الأكبر للقطع الناقص الذي معادلته
9 س2 + 4 ص2 – 18 س+ 16ص –11 = 0والبعدبين بؤرتيه 8 وحدات

القطوع المخروطية





1- حدد نوع القطع الذي تمثله المعادلات الأتيه:
أ‌) ص – س2 = 8س + 18
ب‌) 4س2 +9ص2 –8س –36 ص + 4 = 0
جـ) 5س2 + 20س –4 ص2 +8 ص = 4
د ) ص2 – 4 س2 –4 ص +8 = 0
2- أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه ب1(2, 1 ) , ب2( 8 , 1 ) ومحيط المثلث ن ب1ب2=16
وحدة طول حيث ن З لمنحنى القطع الناقص 0
3- أوجد معادلة مجموعة النقط في المستوى التي مجموع بعديها عن النقطتين (2 , 5 ) , ( -4 , 5 )
مساويا 10 وحدات 0
4- أذكر ما تمثله بيانيا كلا من المعادلات الآتية:
أ‌) س2 +ص2 =1
ب‌) س2 + ص2 = -1
جـ) س2 + ص2 = 0
د‌) س2 – ص2 = 1
هـ) س2 – ص2 = -1
و‌) س2 – ص2 = 0







الباب الثاني( المتتابعات والمتسلسلات )

المتتابعات

المتتابعات المنتهية المتتابعات الغير منتهية

حسابية هندسية تقاربية تبا عدية

ح ن =أ +(ن + 1 ) د ح ن =أ 0 ر ن- ا إذا كان لها نهاية وحيدة إن لم يكن لها نهاية وحيدة


المتسلسلات

المتسلسلات المنتهية المتسلسلات الغير منتهية





حسابية هندسية حسابية هندسية غير ذلك
جـ ن= ن ]2أ +(ن- 1) د[ جـن= أ( ر ن – 1 )
2 ر - 1 تباعدية دائما تباعدية إذا كان
جـ ن= ن ( أ + ح ن ) لا يمكن جمعها نها ح ن ≠ صفر
2






| ر | <> 1
تقــــــــــــــاربية يبـــــــــــــــــاعدية
جـ ن = أ 0
ر - 1 لا مجموع لها





تمارين على الباب

الثالث








1- أدخل الأوساط الآتية:
أ‌) 4 أوساط حسابية بين العددين 27 , 42 0
ب‌) 3 أوساط هندسية بين العددين 3 , 48 0
2- باستخدام مفهوم المتتابعة الحسابية أوجد عدد الأعداد المحصورة بين العددين 300 , 600 التي
تقبل القسمة على 7 ثم أوجد مجموعها 0
3- أوجد إن أمكن مجموع المتسلسلات الآتية:

أ) ( 3 ن + 2 ) ب) ( 3 ن + 2 )


جـ) 2Ҳ ( 3 ) ن د) 2 Ҳ 3 ن
4 4

هـ) 2 Ҳ 4 ن و) ( 2 ن + 2ن )
3
4- إذا كان ح ن = 3ن2 + 4 فأدرس تقارب كلا من:
5 + 6 ن2
أ) ح ن ب ) ح ن

5-أوجد عدد حدود المتسلسلة في الحالات التالية:

أ) 1 ن = 63 ب) (3 ن + 5 ) = 215
2 64
6- متتابعة حسابية فيها الحد الثالث 11 , الحد السابع23 0 أوجد المتتابعة ثم أوجد جـ10 0
7- متتابعة هندسية فيها ح 3 = 3 / 1 , ح 6 =9 أوجد ح 5 , جـ5 0
8- متتابعة حسابية مجموع خمسة حدود متتالية = 45 فأوجد تلك الحدود0
9- متتابعة هندسية فيها ح1 = 3 , مجموع الحدود الثلاثة الأولى منها 171 فأوجد جـ6 0
10- متتابعة هندسية موجبة فيها ح3 =4 , حدها الثاني يزيد عن حدها الرابع بمقدار 6 0أوجد المتتابعة
ثم أوجد ح7 0
11- متتابعة هندسية حدها الأول 3 ,حدها الأخير 48 ,كل حد فيها ضعف الحد السابق له مباشرة أوجد
مجموعها0

12- أثبت آن المتسلسلة 2 ن تقاربية0 وأوجد مجموعها0
5
13- إذا كانت ( س , 3 + ص , 6 + ص , 16 ) متتابعة هندسية فأوجد قيمتي س , ص0


الباب الثلث






النهايات و اٌلإتصال

الدوال الحقيقية وخواصها النهايات الاتصال



الدوال الخواص النهاية عند نقطة النهاية عند اللانهاية النهاية بالنظريات الإتصال عندنقطة على فترة

مجال الدالة الحقيقية:
هي الفترة التي تكون للدالة عندها معرفة

م
الدالـــــــــــــــــــــــــــــــــة
مجال الدالـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــة
1
كثيرة الحدود
ح
2
الدالة الآسية
ح
3
الدالة الكســـرية
ح – مجموعة أصفار المقام
4
الدالة الجذرية
ما تحت الجذر 0
5
الدالة اللوغاريتمية
ما تحت الجذر> 0


بحث إشارة الدالة الدرجة الأولى :
تكون الدالة مثل إشارة معامل س على يمين صفر الدالة وعكسها على يسارها
بحث إشارة الدالة الدرجة الثانية :
تكون الدالة مثل إشارة معامل س2 ما عدا بين صفري الدالة0
ملحوظة1:
تكون للدالة إشارة مثل إشارة س2 إذا كان لها صفر واحد أو ليس لها أصفار0
متحوظة2:
نستخدم بحث الإشارة في الحالات الآتية:
1- لإعادة تعريف القيمة المطلقة
2- لتحديد مجال الدالة الجذرية و اللوغاريتمية
خواص الدوال الحقيقية:
أولا الدوال الدورية:
تسمى د ( س ) دالة دورية ودورتها أ إذا كان أ هو أصغر عدد حقيقي موجب يجعل:
د( س + أ ) = د ( س )0
مثل : جــا ( هـ + 2ط ) = جــا هـ دالة دورتها 2ط
ظــا ( هـ + ط ) = ظــا هـ دالة دورتها ط




ثانيا الدوال الزوجية والفردية:
1- إذا كانت د ( - س ) = د ( س ) فإن الدالة زوجية0
2- إذا كانت د ( - س ) = - د ( س ) فإن الدالة فردية0
3-إذا كانت د ( - س ) ± د ( س ) فإن الدالة ليست زوجية آو فردية


1- جــا (- هـ) = - جــا هـ 2- ظــا (- هـ ) = - ظــا هـ
3- جتا (- هـ )= جتا هـ 4- | - س | = | س |
4- الدالة الزوجية متماثلة حول محور الصادات0
5- الدالة الفردية متماثلة حول نقطـــة الأصــل 0
ثالثا الدوال المتزايدة والمتناقصة:
1- إذا كانت س1 > س2 فإن د( س1 ) > د( س2) تكون الدالة متزايدة0
2- إذا كانت س1 > س2 فإن د( س1 ) < د( س2) تكون الدالة متناقصة0
رابعا الدوال المحدودة والغير محدودة:
تسمى الدالة د( س) محدودة إذا كانت محدودة من أسفل ومن أعلى على الصورة:
م د( س) ل حيث م هو الحد السفلي , ل هو الحد العلوي0




1- حدد مجال كلا من الدوال الآتية:
أ) د( س) = س2 – 4 ب) د( س) = لو ( 9 – س2)

جـ) د( س) = 16 – س2 د ) د( س) = 2 س + 7
س2 - 9 2س – 6 - 4
هـ) د( س) = 4 – س2 و) د( س) = س + 3
| 2س| - 4 2س - 4
2- أعد تعريف الدوال الآتية وأرسم المنحنى البياني لها وحدد مجالها ومداها وأدرس جميع خواصها0
أ‌) د( س) = | 2س – 6 | + | س + 2 | + 30
ب‌) د( س) = 1 ( | س + 1 | + | س – 1 | )
2
3- عين نوع الدوال الآتية من حيث كونها زوجية آم فردية:
أ‌) د( س) = 3 س2 + 5 جتا س + 2ظــا2س
ب‌) د( س) = س | س | + جتا 3 س
جـ) د( س) = س3 + جــا س

| 2 س |



4- أدرس محدودية الدوال التالية:
أ) د( س) = ( س + 2 )2 +5 حيث -2 س 2 0

ب) د( س) = س2 على مجاها
س2+3
جـ) د( س) = 3 . جتا س حيث س -6 0
6 + س
د) د( س) = س2 –6 س +4 1 س 3
5ـ أوجد مجال الدالة د( س) = } س + 3 عند س > 0
} 2س – 1 عند س <>
6- أدرس تزايد آو تناقص الدوال الآتية:
أ‌) د( س) = | 2 س – 10 | على مجالها0
ب‌) د( س) = س | س | على مجالها0
جـ) د( س)= 2 س3 – 7 على مجالها0
د ) د( س) = س2 + 4 على مجالها0
7- ابحث اطراد الدالة د( س) = س – 7 على مجاها
س + 3

8- أبحث تناظر الدالة د( س) = س – 2 عند س > 0
- س – 2 عند س <>


















النهايات


نهاية الدالة عند نقطة
نهاية الدالة عند اللانهاية
نهاية الدالة باستخدام النظريات
شروط وجودها:
1-أن تكون معرفة حول النقطة
2-أن تكون نهايتها اليمنى تساوي
نهايتها اليسرى
خطوات إيجادها:
1-نتأكد أن الدالة معرفة حول النقطة
2-نعوض في الدالة عن قيمة س التي
تؤول إليها س فنحصل على إحدى
النتائج الآتية:
أ) نها س+ 3 = 6
س 3 س2+9 18
ب) صفر هنا نحلل ثم نختصر
صفر
مثل: نها س+3 = نها 1 = 1
س2-9 س+3 6
جـ)عدد
صفر


خطوات إيجادها:
1- نتأكد أن الدالة معرفة بالقرب من
∞ , - ∞ أو كتاهما
2-إن كانت الدالة كسرية وخالية من
الجذور نقسم البسط و المقام على اكبر
س في المقام

0 إذا كان درجة المقام اكبر

نها د( س ) = ∞ إذا كان درجة المقام اقل
ر(س)
أ . إذا كان درجة المقام =
ب درجة البسط
مثل: نها 2 س+3 =صفر
س2- 4
نها س2- 4 =
س + 3
نها 2س2 + 7 = 2
3س+2س2 5



نظريه 1:
1-إذا كانت د1 , د2 معرفة على ف - } أ { وكانت
نها د1 = صفر , د2 محدودة فإن:
نها د1 x د2 = صفر
س أ
2- نظرية الساندويتش
إذا كانت د( س) معرفة على ف - } أ { وكانت
د1 ≥ د(س) ≥ د2 وكانت نها د1 = نها د2 = ل
فإن نهـــــــــــــــــــــــا د(س) = ل0

وبالمثل عند س ±
نظرية 3:
نهـــــــــأ جــا س = 1
س 0 س
نهــــــــا ظــا س = 1
س 0 س
نهــــــــا 1- جتا س = صفر
س 0 س


الاتصال

الاتصال عند نقطة جـ
الاتصال على فترة ] أ , ب [
شروط الاتصال :
1- أن تكون الدالة معرفة عند جـ
2- أن تكون نهاية الدالة حول جـ =
قيمتها عند جـ

أي أن: نها د(س) = د( جـ)

شروط الاتصال:
1- أن تكون معرفة على الفترة
2- نهــا د(س) = د(جـ) لكل جـ Э] أ , ب [
3- نهــا د(س) = د ( أ )
4- نهــا د(س) = د (ب)










أوجد النهايات التالية إن أمكن: س2 + 1 عند س >2
أ) نهـــــا س2 –5 س + 6 ب) نهـــــا
س 3 س – 3 س 2 2س – 3 عند س <>

جـ) نهــــا /\ 2س+3 - 3 د) نهــــــا س2 - 4
س 3 س2 – 9 س 2 2 س

هـ) نهــــا و) نهـــــا (س-2)2 -4
3س - | س | س 0 س
أحسب النهايات التالية إن أمكن:
أ) نهــــــا | س2 –16| ب) نهــــــا /\ س5 س+2 -64
س 4 س- 4 س 2 س - 2

جـ) نهـــــا س4+2س2+س-4 د) نهـــــا ( /\ س2-2س-2 - س )
س 1 س - 1 س ∞
3س – 1 عند س <0
إذا كانت د(س) = صفر عند س = 0 فاحسب مايلي:
2س+2 عند س > 0
أ) نهـــــــا د(س) ب) نهــــــا د(س) جـ) نهـــــا د( س )
س 2 س -2 س 0

أوجد النهايات التالية:
أ) نهـــــا 3 س + 2 ب) نهــــــا 2س + 5
س ∞ 2 + 5س س ∞ س2+7س+3

جـ) نهـــــا 3 س2 – 4 د) نهـــــا | س | + 5
س ∞ س + 2 س ∞ 2س – 6

هـ) نهـــــا 3 س + 7 و) نهـــــا 2س - 5
س ∞ س2 - 16 س ∞ 16 – س2

أوجد النهايات التالية إن أمكن:
أ) نهـــــا 1 جـا س ب) نهـــــا 1 جـا س
س 0 س س ∞ س



جـ) نهــــــا جــا س د) نهــــــا 3 – 3 جتا س
س ط 2 س س 0 6 س
2

هـ) نهــــــا جــا ( س – 2 ) و) نهـــــا جــا 3س ظــا 5 س
س 2 س2 + س – 6 س 0 6س2

ز) نهـــــا جــا3س ظتا 2س ح) نهـــــا 5س + 3 جتا س
س 0 س ∞ 2س - 1
أدرس اتصال كلا مما يلي:
أ) د(س) = | 2س – 6 | عند س = 30
س2 – 2 عند س > 2
ب) د( س) = عند س = 2
2س – 2 عند س <>
س2 - 16 عند س ± 4
جـ) د(س) = س – 4
2س عند س = 4

أدرس اتصال الدوال الآتية على مجالها:
أ) د(س) =/ | س2 – 9 ب) د(س)= /| 9 – س2

جـ) د(س) = | س2 –5س +6 |

س – 3 عند 3 ≥ س
د) د(س)= 2 عند 3 < س <>
س - 6 عند س ≥ 8

أوجد قيمة ك التي تجعل د(س) متصلة عند س = 3 حيث
س2 –7س + 12 عند س ≠ 3
أ) د(س)= س – 3
ك2 – 10 عند س = 3
ب) د(س) =/\ 2س –3 عند س≠ 4
س - 4
ك + 1 عند س = 4
أعد تعريف الدالة د(س) = س2 –5س +6 عند س = 3
س2 - 9



الاشتقاق وتطبيقاته
أوجد باستخدام التعريف مشتقة كلا من الدوال الآتية:
أ) د(س) = س2 + 3 عند س= 3
ب) د(س)= /\ س - 2 عند س = 4
جـ) د(س)= س2 –3س + 1 عند س = 5 0
إذا كانت د(س) = س2 – 4 فأوجد :
أ) معدل تغير الدالة عندما تتغير س من 3 إلى 4 0
ب) معدل تغير الدالة عند س = 3 باستخدام التعريف 0

أوجد مشتقة كلا من الدوال الآتية:
أ) د(س)= ( س2+4س –1)4 ب) د(س) = /\ س2 –4س
3
جـ) د(س)= 1 . د) د(س) = /\ س2 - 4
(س2+6 )7

هـ) د(س) = ( جــا س2 + جــا2 س )4 و) د(س) = ( 3س + /\ س2 – 1 )3

ز) د(س) = س2 جــا2 س ح) د(س) = 3س2 ظتا /\ س - 1

إذا كانت ع = ص + 1 , ص = س + 2 فأوجد ء ع 0
ص - 1 س - 2 ء س
إذا كانت س ص = 1 فأثبت أن س2 ء2ص + 3س ء ص 0
ء س2 ء س
إذا كانت د(س)= جتا 3 س فأوجد ء3ص 0
ء س3
أوجد معادلة المماس والعمودي علية لمنحنى الدالة د(س)= 3 . , س ≠ 1 عند النقطة(0 , - 3)0
س- 1
يتحرك جسيم في خط مستقيم ويقطع مسافة قدرها ف= ن4 – 2ن3 +ن2 – 5 فأوجد :
أ)الزمن اللازم لانعدام السرعة0
ب)تسارع الجسيم عند انعدام الحركة0
معادلة مسار حركة جسيم هي ص = (س – 2) ( س – 1) فإذا كانت سرعة الجسيم في اتجاه محور
السينات عند النقطة (3 , 2) تساوي 3 سم/ث فأوجد سرعة الجسيم في اتجاه محور الصادات عند
نفس النقطة0