التناظر

التناظر :

( أ ) الدالة الزوجية : المنحنى متناظر حول محور الصادات وشرطها :





د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعوض عن قيم س بـــ ( - س ) فإذا كانت د ( - س ) = د ( س ) كانت الدالة زوجية


مع ملاحظة :
س ن عندما ن عدد زوجي
1) ليكن س 'H فإن ( - س )ن =
- س ن عندما ن عدد فردي
2) ô - س ô = ô س ô ، جــــتــــا ( - س ) = جــــتــــا ( س )
3) ظــــــا ( - س ) = - ظــــــا س ، جـــــــا ( - س ) = - جـــــــا س
وهنا في الدالة الزوجية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول المحور الصادي

( ب ) الدالة الفردية : المنحنى متناظر حول نقطة الأصل وشرطها :





- د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعكس الإشارة لقاعدتها ونقارنها بـــ د ( - س ) فإذا كانت - د (س ) = د (- س ) كانت الدالة فردية
مع ملاحظة :
1) - د ( س ) أي نعكس إشارة الدالة إذا كانت دالة كثيرة حدود
2) في الدالة الكسرية نعكس اشارة البسط أو المقام على حسب المراد تغيير اشارتها
3) في دالة المقياس والدالة الجذرية لايمكن الضرب بإشارة ( - ) لذا نكتفي المقارنة لإيجاد - د ( س ) بـ ( - || ) أو( - )
4) لايمكن ان تكون الدالة زوجية وفردية في نفس الوقت

X

X

X

وهنا في الدالة الفردية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول نقطة الأصل ويتم ذلك اجراء نصف دورة حول نقطة الأصل ( أو التناظر حول محور الصادات يليه تناظر حول محور السينات )
S

ص = س2
س2 + 1

S

ص = س2


دوال زوجية

S

ص = س
س2 + 1

S

ص = جــا س


ط

دوران مقداره 180


S

ص = س3


دوال فردية

S

ص = جـتا س


ط
2


- ط
2



















œنقط التقاطع مع المحورين :




G نقط التقاطع مع المحور الصادي ( X ) : نضع س = 0

فيكون ( 0 ، ص1 ) ، ( 0 ، ص2 ) ، ......... ، ( 0 ، صن ) هي نقط التقاطع مع المحور الصادي



A نقط التقاطع مع المحور السيني ( S ) : نضع ص = 0

فيكون ( س1 ، 0 ) ، (س2 ، 0) ، ......... ، (سن ، 0) هي نقط التقاطع مع المحور السيني

œنعين القيم العظمى والصغرى المحلية :

نوجد النقط الحرجة للدالة د ( س ) وذلك بوضع دَ ( س ) = 0 أو دَ ( س ) كمية غير معرفة ثم دراسة اطراد الدالة عن طريق دراسة اشارة دَ ( س ) ومنه استنتاج القيم العظمى والصغرى المحلية إن وجدت
وهنا لابد أن نلاحظ لدراسة النقط الحرجة للدالة د ( س ) :
1) نضع دَ ( س ) = 0 في { دالة كثيرة الحدود أو في الدالة الجذرية والواقعة في البسط }
2) في الدالة التي يتغير عندها تعريف الدالة ( مثل دالة المقياس )
* دَ ( س ) = 0 في الفترات الجزئية المفتوحة
* دَ ( س ) كمية غير معرفة عند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة والتي تكون عندها غير قابلة للإشتقاق { مثل جذور المقياس }
3) في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) = 0 وهذ1 معناه ( أن البسط = 0 )
مع ملاحظة إذا كان البسط = عدد ، من المستحيل ان البسط = 0
إذا لم يوجد امكانية أن دَ ( س ) = 0 في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) غير معرفة وهذا معناه ( أن المقام = 0 )
وهنا شرط اساسي لجميع النقط الحرجة لابد ان تنتمي لمجال الدالة د ( س ) على فترة مفتوحة

أو هنالك طريقة اخرى لإيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية :
وذلك بتحديد النقط التي تجعل دَ ( س0 ) = 0 وبعد ذلك نعوض عن قيم س0 في دً ( س ) فإذا كانت :
دً ( س 0 ) > 0 s د ( س 0 ) قيمة صغرى محلية
دً ( س 0 ) < face="Zawawi">s د ( س 0 ) قيمة عظمى محلية
وهنا لابد ان نلاحظ لقاعدة الإشارات :
1) الدالة الخطية ص = A س + ب دالة من الدرجة الأولى الدالة تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها


A > 0 الدالة موجبة فقط بين جذريها سالبة
م > 0 ( أي نعكس الإشارة لــ A بين الجذرين )
2) الدالة من الدرجة الثانية A <>
ص = A س2 + ب س + جـ
A > 0 الدالة موجبة
م G 0
A <>
( مع ملاحظة دالة : س2 + عدد ¹ 0 ودائماً موجبة )
موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
3) ( س ) ن
تعامل كأنها دالة خطية إذا كانت الأس ن عدد فردي ( لاحظي جذرها = صفر )

موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
4) ( د ( س ) ) ن
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت الأس ن عدد فردي

ن موجبة إذا كانت جذر تربيعي أو بجذر زوجي
5) د ( س ) =
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت االجذر بإس عدد فردي

6) دالة المقياس في الأصل موجبة ولكن لابد من اعادة تعريفها ودراسة اشارتها
7) في دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة تحلل إلى دالتين من الدرجة الأولى ودالة من الدرجة الثانية مع ملاحظة :
دالة من الدرجة الثانية م <>
س3 ± عدد = 3
دالة خطية : س ± عدد (تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها )
وفي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة تحلل إلى دالتين من الدرجة الثانية
8) في الدالة الكسرية ندرس اشارة البسط واشارة المقام ثم نوجد اشارة الناتج
9) لدراسة اشارة العدد إذا كانت العدد موجب فهو موجب وإذا كان العدد سالب فهو سالب

للمزيد من مواضيعي

التكامل

التكامل


1) دَ ( س ) "س = د ( س ) + ث
"

" س س




2) د ( س ) " س = د ( س )

3) A د( س ) "س = A د ( س ) "س " س ' H

4) ( د1 ( س ) ± د2 ( س ) ) " س = د1 ( س ) "س± د2 ( س ) "س

ملاحظة :
لاتوجد قواعد لتكامل حاصل ضرب دالتين أو خارج قسمة دالتين وفيما يلي جدول بعض التكاملات الغير المحدودة
حيث ن هي مجموعة الأعداد النسبية ، حيث : ث ، A ' H



1) ( 1 ) " س = " س = س + ث



2) A " س = A " س = A س + ث
سن + 1

ن + 1


3) سن " س = + ث حيث ن ' N - { - 1 }



4) جـــــــا س " س = - جــتــا س + ث
مجال الدالة ف = H
ط + 1

م

5) جـــتــــا س " س = جــــا س + ث

6) قــــــا2 س " س = ظــــا س + ث ، ف = H - { + م ط } حيث م 'X

7) قــتــا2 س " س = - ظـــتـــا س + ث ، ف = H - { م ط } حيث م 'X
ط + 1

2


8) قــــــا س ظـــا س " س = قـــــا س + ث ، ف = H - { + م ط } حيث م 'X

9) قــتــا س ظـــتــا س " س = - قـــتـــا س + ث ، ف = H - { م ط } حيث م 'X


طرق التكامل بالتعويض يمكن تحويلها إلى احدى الصور المحتواه داخل الجدول السابق

اولاً :تكامل دالة خطية مرفوعة لأس ن و ن ¹ - 1 أو ( A س + ب ) ن "س ن ¹ - 1 :
تكامل دالة خطية مرفوعة لأس على صورة ( A س + ب ) ن "س ن ¹ - 1
1
A

الدالة اللوغاريتمية

الدالة الاسية واللوغاريتمية:

الدالة اللوغاريتمية
اولاَ : الاشتقاق :
1) ص = لو د( س ) Ü صَ = 1 × دَ ( س ) = دَ ( س )
د( س ) د( س )

أي ان تفاضل لو( أي دالة ) = 1 × مشتقة الدالة
الدالة
2) ص = لو س Ü صَ = 1
ص
A

لاحظي : ص = لو د( س ) = لو د( س ) Ü صَ = 1 × 1 × دَ ( س ) = دَ ( س )
لو A لو A د( س ) لو A لو د( س )
ثانياَ : التكامل

1) دَ ( س ) ء س = لو | د ( س ) | + ث
د ( س )
مشتقة ء س = لو | الدالة | + ث تكامل مشتقة = لو | الدالة | + ث
الدالة الدالة



2 ) لوس ء س = س لو س - س + ث



3) لوس ن ء س = ن لو س = ن ( س لو س - س ) + ث




A

4) لو س ء س = لو س ء س = س لو س - س + ث
لو A لو A

A

5 ) لو س ن = ن لو س = ن ( س لو س - س ) + ث
لو A لو A







الدالة الاسية :
اولاَ : الاشتقاق : ( اتبعي القاعدة فقط )

تفاضل أي دالة اسية = نفس الدالة الاسية × تفاضل الاس × لو الاساس
هـ

( ولكن إذا كان اساسه هـ مانكتب لو الاساس لأن لو هـ = 1 ) أي ان :

1 ) ص = هـ س Ü ص َ= هـ س

2) ص = هـ د( س ) Ü ص َ= هـ د( س ) × دَ ( س )

3 ) ص = A س Ü ص َ= A س لو A

4) ص = A د( س ) Ü ص َ= A د( س ) × دَ ( س ) لو A

5) ص = لو هـ د( س ) = د( س ) ، ص = هـ لو د( س ) = د( س ) ( وتفاضل او تكامل حسب نوع الدالة )

6) لاحظي هنالك فرق بين ص = هـ لو ( س + A) = س + A و ص = هـ لو س + A = هـ لو س هـ A = س هـ A

ثانياً : التكامل : ( اتبعي القاعدة فقط )

تكامل أي دالة اسية × مشتقة الاس = نفس الدالة الاسية
لو الاساس

هـ

( ولكن إذا كان اساسه هـ مانكتب لو الاساس لأن لو هـ = 1 ) أي ان :



1 ) هـ س ء س = هـ س + ث

2) هـ د( س ) × دَ ( س ) ء س = هـ د( س ) + ث



3 ) A س ء س = A س + ث
لو A

4) A د( س ) × دَ ( س ) ء س = A د( س ) + ث
لو A
5) ص = س س Ü ص = هـ لو س س = هـ س لو س Ü صَ = هـ س لو س × ( 1 × لو س + س × 1 )
س
= س س ( لو س + 1 )

6) س س ( لو س + 1 ) ء س = س س + ث














لاتوجد قاعدة مباشرة لتكامل ضرب او قسمة دالتين :
اولاَ : في حالة الضرب
1) إذا يمكن الضرب نضرب ثم نكامل

2) لايمكن الضرب

احدى الدالتين مشتقة الاخرى

لايمكن الضرب او ليست احدى الدالتين مشتقة الاخرى

أي أن إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق خلال التكامل بالتعويض : نفرض ان المقدار للدالة الخطية
الفترة ف وكان ن 'N - { - 1 } فإن : والتي لها ذات الاس الصعب بـ ص نوجد س بدلالة ص
نفاضل الطرفين ثم نعوض عن قيم س ، ء س
[ د ( س ) ] ن × دَ ( س ) "س = [ د ( س ) ] ن + 1 + ث بدلالة ص ، ء ص
ن + 1 ملاحظة ممكن في بعض الدوال ليست دالة خطيه
[ الدالة ] ن × مشتقتها = [ الدالة ] ن + 1 + ث ولكن نحاول ان نستخدم لها التكامل بالتعويض
ن + 1 نفرض والتي لها الاس الصعب بـ ص ثم نتبع الخطوات

ثانياَ : في حالة القسمة لدالتين :
اولاَ : في حالة الضرب

قسمة دالتين

يمكن رفع المقام للبسط
بحيث اس المقام ن ¹ - 1

لايمكن رفع المقام لأن المقام باس يساوي 1

تحول إلى حاصل ضرب دالتين وتفاضل على حسب ما سبق


إذا كان درجة البسط < درجة المقام

وكان البسط مشتقة المقام

دَ ( س ) ء س = لو | د ( س) | + ث
د( س )

مشتقة = لو | الدالة | + ث
الدالة

إذا كان درجة البسط £ درجة المقام

اما بالتحليل والاختصار ثم نكامل إذا كان درجة البسط > درجة المقام
او قسمة مطولة ثم نختار طريقة مناسية للتكامل