الدوال المثلثية

سنبدأ بتعريف الدوال المثلثية لزاوية حادة (بين و ) إذا أعطينا مثلثين قائمين و بهما و فإنهما متشابهين ( ) وبالتالي فإن الأضلاع المتقابلة لها نفس النسب. هذه النسب تعطينا الدوال المثلثية للزاوية و هي (بالرجوع إلى الشكل1)
1) دالة الجيب تنطق ساين و تختصر هذه هي المقابل على الوتر
2) دالة جيب التمام تنطق كوساين و تختصر و هي المجاور على الوتر

3) دالة الظل تنطق تانجينت و تختصر و هي المقابل على المجاور
4) دالة القاطع تنطق سيكانت و تختصر و هي الوتر على المجاور
5) دالة قاطع التمام تنطق كوسيكانت و تختصر و هي الوتر على المقابل
6) دالة ظل التمام تنطق كوتانجينت و تختصر

الشكل 1

لاحظ أن لدينا
و و و
أيضا بما أن من فيثاغورس فبالقسمة على نحصل على العلاقة الأساسية بين الجيب و جيب التمام و هي و بالقسمة على نحصل على و بالقسمة على نحصل على فيما يلي سنرى تكرر الارتباط بين و و بين و .
هناك زوايا مهمة يجب أن نذكر قيم الدوال المثلثية عندها و هي

الشكل 2

1) : المثلث القائم الذي أحد زواياه سيكون متساوي الساقين و بالتالي فإن و من فيثاغورس إذاً و
2) المثلث متساوي الأضلاع جميع زواياه (متساوية و مجموعها ) منصف زاوية الرأس سيكون المنصف العمودي للضلع المقابل (من ) إذا لدينا حيث طول الضلع في المثلث الأصلي أن الضلع المقابل للزاوية هو و المقابل للزاوية هو (من فيثاغورس) إذا و و و و و
قبل أن نستمر يجب أن نناقش أمرين. الأول هو قياس الزوايا و الثاني هو تعميم التعريف إلى زواياً غير حادة. بالنسبة للمقياس فالقياس بالدرجات و الدقائق و الثواني تقسيم قديم يعود إلى البابليين و أصبح راسخا لا يمكن تجنبه مع أنه بدون مبرر رياضي فهو ليس أفضل من تقسيم الدائرة إلى و حدة و تقسيم كل منها إلى وحدة. رياضيا القياس الجيد هو القياس الدائري حيث تتحول إلى دائري حيث هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. لاحظ أن عدد غير قياسي (فالقيمة تقريب جيد فقط). لنحول من الدرجات إلى الدائري كلما علينا هو إبقاء نفس النسبة أي إبقاء نسبة الزاوية بالدرجات إلى تساوي نسبة الزاوية بالدائري إلى أي حيث هو مقياس الزاوية بالدرجات و هو مقياسها بالدائري. فمثلا بالدائري هي من الزوايا الأخرى التي سنستخدمها

الشكل 2

بكثرة لدينا و و و و الخ. هناك عدة أسباب لأهمية المقياس الدائري نذكر منها
1) سهولة التعبير عن طول القوس فلدينا هو طول قوس الدائرة الذي زاويته حيث هو نصف القطر
2) سهولة التعبير عن مساحة القطاع المحدد بالقوس فلدينا
3) إذا كانت صغيرة فإن و كلاهما قريبين من قيمة (بالدائري) مثلا إذا فإن و في الواقع لدينا أن الشكل 4 يعطي التفسير الهندسي لهذه المتباينة
4) باستخدام المتباينة في 3 سنجد أنه من الممكن الحصول على تعبير بسيط لمماس الدوال المثلثية. مثلا ميل المماس للدالة عند هو
ملاحظة: بما أن حيث هو المقياس بالدائري و هو المقياس بالدرجات فإن المعادلات أعلاه تتحول إلى و و فيظهر لنا المعامل لتجنب هذا و غيره من الأسباب سنستخدم المقياس الدائري و لكننا سنستخدم أيضا الدرجات

الشكل 6

الشكل 5

قوانين المكملة: بما أن مجموع زوايا المثلث هو فالزاويتين الحادتين في المثلث القائم هما هذا يعطينا أن مقابل الأولى هو مجاور الثانية و العكس و من هذا نجد أن و و و و و

الشكل 7

الآن سننظر إلى تعريف الدوال المثلثية عامة. لنعمل ذلك نلاحظ أنه إذا كانت و ابتداء من النقطة قطعنا على دائرة الوحدة في اتجاه معاكس لاتجاه عقارب الساعة فإننا سنصل إلى نقطة زاويتها مع محور هي و بالتالي فإحداثياتها هي و فنستطيع تعميم هذه فنعرف الدوال المثلثية كالتالي ابتداء من اقطع مسافة على دائرة الوحدة اجعل النقطة التي تصلها تجد أن و و و و و . للقيم السالبة نقطع المسافة في الاتجاه المتوافق مع اتجاه عقارب الساعة. لاحظ أنه عند ستكون و بالتالي فإن ليست معرفة عند هذه الزوايا و حيث عندما فإن ليست معرفة عند هذه الزوايا. لنحسب قيمة الدوال المثلثية عند زاوية نوجد الزاوية الحادة بين خط الزاوية (الخط الذي نصل إلية بعد الدوران) و محور قيم الدوال المثلثية عند الزاوية الأصلية هي إلى إشارة قيم نفس الدوال عند هذه الزاوية الحادة و نحدد الإشارة من معرفتنا إشارة و في الأرباع المختلفة.

الشكل 8

هناك بعض العلاقات المهمة التي سنذكرها هنا ( انظر الشكل8)
1) قوانين سالب الزاوية ( جيب التمام و القاطع زوجية و بقية الدوال فردية) إذا كانت النقطة عند هي فإن النقطة عند هي فإشارة الدال التي تعتمد فقط على و هي و مقلوبها تبقى كما هي و تنعكس إشارة بقية الدوال



2) قوانين التناظر بالنسبة لنقطة الأصل (الدوال التي لا تتغير هي الظل و ظل التمام و تنعكس إشارة بقية الدوال) إذا كانت النقطة عند هي فالنقطة عند هي و بالتالي فالدوال التي لا تتغير هي التي تعتمد على نسبة و أي و فلدينا من هذه المجموعتين نحصل على قوانين المتممة
3) الجيب و مقلوبها هي الدوال التي لا تتغير بأخذ المتممة و تنعكس إشارة بقية الدوال


من القوانين المهمة التي تربط الهندسة بحساب المثلثات قانون الجيب. سنشتق هذا القانون بطريقتين كل منهما يعطينا معلومات ليست محتواة في الأخرى. الأولى تعتمد على قانون المساحة و هو

الشكل 9

أي المساحة هي حاصل ضرب جانبي الرأس بجيب زاويته (انظر الشكل9) هذا القانون صحيح للزوايا المنفرجة أيضا لأن و بضرب الحدود في نحصل على الصيغة الأولى لقانون الجيب و هي و هو قانون الجيب.
نقطة الضعف في هذه الصيغة هي أنها لا تعطينا تفسيرا هندسيا لهذه النسبة

الشكل 10

في الصيغة الثانية سنستخدم قواعد الزاوية المقامة على قوس فنأخذ الدائرة الخارجة للمثلث و نرسم القطر المثلث سيكون قائم الزاوية حيث إذا كانت الزاوية حادة فإن و بالتاي فمن المثلث نجد أن و إذا كانت الزاوية منفرجة فإن و مرة أخرى طبعا إذا كانت فإن و هذا يعطينا العلاقة و نفس العلاقة تنطبق للزوايا الأخرى و بالتالي فإن
مثال 2: باستخدام العلاقتين أعلاه لقانون الجيب نستطيع الحصول بسهولة على العلاقة بين نصف قطر الخارجة و مساحة المثلث فلدينا أن

الشكل 11

من أهم العلاقات علاقة جمع و طرح الزوايا. سنعطي عددا من الاشتقاقات لهذه العلاقة. سنبدأ باستخدام نظرية بطليموس (حاصل ضرب قطري الرباعي الدائري يساوي مجموع حاصل ضرب طولي ضلعين متقابلين) قبل أن نعمل ذلك لاحظ أن لدينا التفسير التالي لدالة الجيب. بما أن فلو رسمنا مثلثا طول قطر دائرته الخارجة هو فإن جيب أي زاوية في المثلث تساوي طول الضلع المقبل (أي ).
ارسم دائرة قطرها و اجعل قطر في هذه الدائرة و ارسم على جانبي هذا القطر الوترين و حيث و عندها نجد أنه في الرباعي الدائري لدينا هذه علاقة جمع الزوايا لدالة الجيب و منها نستطيع أن نحصل على العلاقات الأخرى مثلا ( الشكل 12 يعطي استنتاجا آخر ممكن لهذه العلاقة الدائرة في هذا الشكل قطرها ) هناك عدد من الاستنتاجات الأخرى لقانون جمع الزوايا سنذكر منها اثنتان لأننا نريد استنتاج هذه القاعدة بصورة مستقلة عن نظرية بطليموس ثم نستخدمها لنشتق تلك النظرية (في وقت تالي)

الشكل 12

الشكل 13 يعطينا اشتقاقا آخر لقانون جمع الزوايا هنا رسمنا مثلثا قائماً به الزاوية ثم رسمنا على قطره مثلثاً به ساق زاويته المجاورة إذا كملنا المستطيل ( بتمديد و رسم موازيا له و موازيا للضلع ) نجد و و و لتبسيط الحساب سنفترض أن
1) من لدينا أيضا و منه إذا
2) لدينا أن و و منه نجد
كطريقة ثالثة للوصول إلى قانون الجمع سننظر أولا إلى قانون جيب التمام

الشكل 14

قانون جيب التمام في المثلث لدينا (مربع الضلع يساوي الفرق بين مجموع مربعي الضلعين الآخرين و ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية بينهما)
الإثبات: اجعل مسقط العمودي على لاحظ أن (صحيح لجميع قيم ) و لدينا (من المثلث ) أن حيث هو الارتفاع من . إذا (من المثلث ) نجد أن
ملاحظة:1)عندما نجد و قانون جيب التمام يصبح قانون فيثاغورس و عندما فإنه يصبح و عندما فهو
2) نستطيع إعادة كتابة قانون جيب التمام على الشكل
ملاحظة: فيما بعد سنرى أن قانون جيب التمام يعطينا عددا من النتائج المهمة

الشكل 15

لنرى كيف نحصل على قانون الجمع نأخذ النقطة التي تمثل الزاوية و تلك التي تمثل الزاوية الزاوية بين ضلعيهما هي من نظرية جيب التمام نجد أن المسافة بينهما هي و لكن هذه المسافة هي و بعد التبسيط نجد أن هذا هو و بمساواة الطرفين نجد أن
من هذه (أو من أي من قوانين أو أو ) نستطيع اشتقاق بقية القوانين فمثلا من القانون أعلاه نجد أن


تمرين 1:أ) باستخدام شكل مشابه للشكل 16 استنتج قانون
ب) باستخدام قانون استنتج قانون و و

من قانوني و قانوني نستطيع استنتاج بقية قوانين جمع و طرح الزاوية وهي
مثلا و بقسمة البسط و المقام على نحصل على المطلوب
كذلك و بقسمة البسط و المقام على نحصل على المطلوب
بأخذ في القوانين أعلاه نحصل على قوانين ضعف الزاوية و هي

في الغالب هذه مباشرة عدى المتطابقات للجيب و جيب التمام و نحصل على هذه كالتالي و و و

من قوانين ضعف الزاوية نحصل على قوانين نصف الزاوية و هي
من هذه قانون الجيب و جيب التمام تتبع مباشرة من قانون و نشتق قانون الظل كالتالي المتطابقة الثانية تتبع من كون قوانين تتبع بأخذ المقلوب لمتطابقات
كذلك نستطيع استنتاج قوانين الجمع إلى ضرب و هي
هذه تتبع بتطبيق قوانين جمع و طرح الزوايا على و مع ملاحظة أن و و فمثلا باستخدام هذه على دالتي الجيب نحصل على
بطريقة مشابهة نستطيع الحصول على قاعدة جمع أخيرا لاحظ أن و منه تتبع قاعدة (الجزء الثاني يتبع مباشرة من معادلة )
بطريقة مشابهة نحصل على قواعد الطرح إلى ضرب
فمثلا نجد أن
و من تتبع المتطابقة الأخيرة.

أيضا لدينا قوانين الضرب إلى جمع
هذه القوانين تتبع مباشرة بأخذ مفكوك الطرف الأيمن فلدينا أن
أخيرا لدينا معادلات ثلاثة أضعاف الزاوية
و هذه تتبع بسهولة من قوانين الجمع و قوانين ضعف الزاوية. فنجد

تمارين:
1)
أ) أوجد (اقتراح: )
ب) أوجد
ت) أوجد
2) أعطيت أن أثبت أن و
3) بسط التعبير
4) أثبت أن
5) أثبت أن
6) أثبت أن
7) أثبت أن

ملخص القوانين

قوانين التعريف
و و و

قوانين فيثاغورس
و و
قوانين المكملة
و و و و و
أخذ المكملة يقلب إلى (و العكس) و كذلك يبدل و
سالب الزاوية

الدوال التي لا تتأثر باستبدال الزاوية بسالبها (أي الزوجة) هي و مقلوبها
التناظر بالنسبة لنقطة الأصل

الدوال التي لا تتأثر بإضافة هي و مقلوبها
قانون المتممة

الدوال التي لا تتأثر باستبدال الزاوية بمتممتها هي و مقلوبها
قانون المساحة
قانون الجيب
قانون جيب التمام
قوانين الجمع و الطرح
قوانين الجمع و الطرح (تتمه)
قوانين ضعف الزاوية
قوانين نصف الزاوية
قوانين الجمع إلى ضرب
قوانين الطرح إلى ضرب
قوانين الطرح إلى ضرب (تتمه)
قوانين الضرب إلى جمع
قوانين ثلاثة أضعاف الزاوية

للمزيد من مواضيعي