الاشتقاق

قواعد الاشتقاق
1) ) مشتقة الدالة الثابتة : -
مشتقة الدالة الثابتة هي الدالة الصفرية أي ان إذا كانت د ( س ) = جـ حيث جـ عدد ثابت فإن
دَ ( س1) = " ( جـ ) = صفر
" س
2) إذا كانت د ( س ) = سن فإن دَ ( س ) = ن س ن -1 ، " ن ' ط

أو بعارة اخرى " ( س ن ) = ن س ن- 1
" س
3) مشتقة حاصل ضرب عدد حقيقي في دالة
ليكن جـ عدد حقيقي فإذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق عند س فإن الدالة ( جـ د ) ( س) أيضاٍ قابلة لللإشتقاق عند س ويكون
( جـ د )َ ( س ) = جـ دَ ( س ) او " ( جـ د ( س ) ) = جـ دَ( س )
" س
4) مشتقة حاصل جمع دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن ( د + ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) + ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) + رَ ( س )
أو " [ د ( س ) + ر ( س ) ] = دَ ( س ) + رَ ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى + الثانية ] = مشتقة الأولى + مشتقة الثانية
5) مشتقة حاصل ضرب دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن حاصل الضرب ( د × ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) × ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
أو " [ د ( س ) × ر ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى × الثانية ] = مشتقة الأولى × الثانية + مشتقة الثانية × الأولى
6) مشتقة الدالة على الصورة [ د ( س ) ] ن
إذا كانت الدالة ص = [ د ( س ) ] ن حيث د ( س ) قابلة للإشتقاق عند س ، ن ' H فإن :
صَ = ن [ د ( س ) ] ن- 1 × دَ ( س )
أي ان مشتقة [ دالة ] ن = ن [ الدالة ] ن- 1 × مشتقة الدالة ( أي مشتقة مابداخل القوس )
7) مشتقة الجذر التربيعي
مشتقة الجذر التربيعي = مشتقة مابداخل الجذر
ضعف الجذر

8) مشتقة دالة كسرية بسطها عدد
إذا كانت د ( س ) = 1 حيث ر ( س ) b 0 ، رَ ( س ) لها وجود فإن دَ( س ) ايضاً لها وجود ويكون
ر ( س )
دَ ( س ) = - ر ( س ) = - مشتقة المقام
[ د ( س ) ]2 [ المقام ]2
9) مشتقة دالة كسرية بسطها ومقامها دوال كثيرة حدود
إذا كانت من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س وإذا كانت ر ( س ) b 0 فإن د قابلة للإشتقاق عند س وتكون
ر

أو " [ د ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) - رَ ( س ) × د ( س )

" س ر( س ) [ ر ( س ) ] 2
أي أن مشتقة[ البسط ] = مشتقة البسط × االمقام - مشتقة المقام × البسط
المقام [ المقام ] 2

تطيبقات المشتقة
اولاً : التطبيقات الهندسية : -

حــــــــــالات خــــــــــــاصـــــــة حــــــــــــول مــــــــــــيل الــــــــممــــــــــاسدَ ( س )

دَ ( س ) لها وجود قيمة عددية غير الصفر

دَ ( س ) = صفر

دَ ( س ) = كمية غير معرفة

A ) معادلة المماس :
دَ ( س ) = ص – ص1
س - س1

ب ) معادلة العمودي على المماس :
- 1 = ص – ص1
دَ ( س ) س - س1



A ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1


AC ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص 1
A ( س1 ، ص1 ) نقطة انكسار أو عدم اتصال لايوجد مماس ولاعمودي

























مــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــلاحــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــظـ ــــــــــــــــــــــــــــــا ت :
1) ميل المماس للمنحنى عند النقطة ( س1 ، ص1 ) = ظــــــــــا ( الزوية التي يصنعها المماس للمنحنى مع الإتجاه الموجب للمحور السيني ) 2) نقطة التماس نقطة مشتركة بين المنحنى والمماس والعمودي على المماس
3) إذا كانت منحنى الدالة عبارة عن خط مستقيم فإن المماس عند أي نقطة علية ينطبق على المنحنى المستقيم وميل المماس = ميل المستقيم
4) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة المماس عند س = س 1
C نوجد نقطة التماس وهي عبارة عن ( س ، ص ) = ( س 1 ، د ( س 1 ) ) وذلك بالتعويض بقيمة س1 في الدالة الأصلية
A نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( س 1 ) = ميل المماس م
B نعوض في القانون دَ ( س1 ) = م = ص – ص 1
س – س1
5) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة العمودي على المماس عند س = س 1
C نتبع الخطوات السابقة ثم نعوض في القانون - 1 = - 1 = ص – ص 1
دَ ( س1 ) م س – س1
5) الخطوات اللازمة لإيجاد الزاوية هـ :
الزاوية هـ = الزاوية التي يصنعها التي بين المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = دَ ( س1 ) = م
الزاوية التي يصنعها التي بين العمودي على المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = - 1 = - 1
دَ ( س1 ) م

للمزيد من مواضيعي