إذا كانت الدالة د قابلة للإشتقاق عند النقطة س والدالة ر قابلة للأشتقاق عند النقطة د ( س ) فإن الدالة المحصلة
ر 5 د تكون قابلة للإشتقاق عند س ويكون :
( ر 5 د ) َ ( س ) = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س )
ملاحظات : -
1) قاعدة التسلسل : ( ر 5 د ) َ ( س ) = [ ر [ د ( س ) ] ]َ = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س )
ولو فرضنا ص = د ( س )
فإن ( ر 5 د )َ ( س ) = [ ر ( ص ) ] َ = " ر × " ص
" ص " س
2) إذا كانت ع = ر ( ص ) ، ص = د( س ) فإن ع = ر ( د ( س ) )
s عَ = " ع = [ ر [ د ( س ) ] ] ~ = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س ) = ر~ [ ص ] × ص ~
" س
مشتقة مشتقة
الدالة × الدالة
" ع
" س
s عَ = " ع = " ع × " ص لأن س ¬ ص ¬ ع
" س " ص " س
" ع
" ص
" ص
" س
3 ) إذا كانت ع = ر ( ص ) { ع دالة في المتغير ص }
ص = د ( س ) { ص دالة في المتغير س }
فإن ع = ر ( د ( س ) ) { ع دالة في المتغير س }
€ تفاضل الدالة ع بالنسبة للمتغير س : " ع كما يلي
" س
1) نوجد تفاضل الدالةع بالنسبة للمتغير ص : " ع
" ص
2) 1) نوجد تفاضل الدالة ص بالنسبة للمتغير س : " ص
" س
3) نحسب " ع = " ع × " ص ثم نعوض عن قيم ص بدلالة س
" س " ص " س
نظرية ( 6 - 1 ) :
إذا كانت د دالة معرفة على الفترة المغلقة [ A ، ب ] وكان :
1) د تأخد قيمة عظمى أو صغرى عند النقطة جـ حيث جـ ' ] A ، ب [
2) دَ ( جـ ) لها وجود
فإن دَ ( جـ ) = 0
ملاحظات : -
1) عند تطبيق النظرية ( 6 – 1 ) نتبع مايلي :
Y نوجد القيم العظمى والصغرى للدالة وذلك بأخد مجال الدالة ونحصر س بين مجال الدالة ونحاول أن نوصل من س إلى قاعدة الدالة المعطاه ومنه نوجد القيم العظمى والصغرى إذا كانت موجودة في المتباينة المتساوية
Y عند تطبيق النظرية لابد من توفر شرطين :
أ ) نساوي القيمة العظمى والصغرى بالدالة د( س) المعطاه نعوض د( س ) بـ د( جـ ) وليكن القيمة العظمى ع = د( جـ ) والصغرى ص = د ( جـ )
بعد ذلك نوجد قيمة جـ والتي تحقق المتساوية السابقة ، وهنا الشرط لابد أن تكون جـ ' ] A ، ب [ أي أن تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة ( أي أن جـ لا تكون عند طرفي المجال [A ، ب ] )
ب) بعد إيجاد قيمة جـ والتي تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة ] A ، ب [ أي عندما تحقق الشرط الثاني نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ ) بتعويض عن قيمة س بـ جـ ( أي لا بد أن تكون دَ ( جـ ) لها وجود )
إذا تحقق الشرطان السابقان نعوض في دَ ( جـ ) عن قيمة جـ ونتحقق أن دَ ( جـ ) = 0
نظرية ( 6 – 2 ) نظرية رول : -
إذا كانت الدالة د :
1 ) متصلة في [ A ، ب ] 2) قابلة للإشتقاق في ] A ، ب [ 3) د ( A ) = د ( ب )
فإنه يوجد عدد واحد على الأقل جـ ' ] A ، ب [ بحيث يكون دَ ( جـ ) = صفر
لتطبيق نظرية رول لابد أن نتبع الخطوات التالية :
( 1) نثبت أن الدالة متصلة على الفترة [ A ، ب ] فإذا تحقق هذا الشرط
( 2 ) نوجد دَ ( س ) ونثبت أن الدالة قابلة للإشتقاق على جميع نقط الفترة ] A ، ب [ فإذا تحقق هذا الشرط
( 3 ) نوجد د (A ) ، د ( ب ) وذلك بالتعويض عن قيمة A و ب في د ( س ) بدل س فإذا كان د (A ) ، د ( ب ) فإن تحقق هذا الشرط فإن الدالة تحقق شروط نظرية رول
( 4) بعد ذلك نحقق النظرية ونذكر أنه $ عدد جـ ' ] A ، ب [ بحيث دَ ( جـ ) = 0
أي نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ ) نوجد قيم جـ والتي تحقق دَ ( جـ ) = 0
وهنا شرط اساسي أن جـ ' ] A ، ب [ { أي أن العدد جـ ينتمي إلى داخل مجال الدالة على فترة مفتوحة أي ان نظرية رول لا تحقق في اطراف الفتر ة }
4) دالة كثيرة الحدود دمتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H واي فترة جزئية منها
5) دالة المقياس دالة متصلة على فتراتها الجزئية المفتوحة وعند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة ولكن دالة المقياس دالة غير قابلة للإشتقاق عند جذورها لأنها نقطة انكسار لأن المشتقة عند جذورها ليس لها وجود ولذلك فإن نظرية رول لايمكن تطبيقها عند جذور المقياس لأن الشرط الثاني من النظرية غير متحقق
6) الدالة الكسرية معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H ماعدا عند اصفار المقام فهي غير معرفة وبالتالي غير قابلة للإشتقاق عند اصفار المقام
7) الدالة الجذرية ذات اس زوجي معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر F 0 ( إذا كان الجذر في البسط )
و ومعرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر > 0 ( إذا كان الجذر في المقام )
8) الدالة الجذرية ذات الأس الفردي معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H إذا كانت في البسط
و معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر ¹ 0 إذا كانت في المقام
9) عند الدالة التي يتغير تعريفها لتحقيق النظرية لابد أن ندرس الإتصال والإشتقاق في فتراتها الجزئية المفتوحة وعند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة
نظرية ( 6 – 3 ) نظرية القيمة المتوسطة -
إذا كانت الدالة د :
1 ) متصلة في [ A ، ب ] 2) قابلة للإشتقاق في ] A ، ب [
فإنه يوجد عدد واحد على الأقل جـ ' ] A ، ب [ بحيث يكون دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )
ب - A
) لكي نطبق نظرية القيمة المتوسطة نتبع مايلي :
1. نثبت أن الدالة متصلة في الفترة [ A ، ب ] إذا تحقق الشرط
2. نثبت أن الدالة قابلة للإشتقاق على الفترة ] A ، ب [ بعد إيجاد دَ ( س ) فإذا تحقق الشرط فإنه
يوجد عدد جـ ' ] A ، ب [ بحيث أن دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )
ب - A
03 ولكي نوجد العدد جـ لابد نتبع ما يلي :
* نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ )
* نوجد د (A ) و د ( ب ) وذلك بالتعويض عن A ، ب في الدالة الأصلية
* بعد ذلك نساوي دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )
ب - A
مع العلم أن هذا الطرف الأخير يساوي قيمة عددية
* نحاول أن نوجد قيمة جـ والتي تحقق المقدار السابق وهنا شرط اساسي أن تكون جـ ' ] A ، ب [
أي أن جـ تنتمي إلى مجال الدالة على فترة مفتوحة وقيم جـ لا تتحقق في اطراف الفترة
4) نلاحظ أن الملاحظات السابقة والتي اخدت في نظرية رول تطبق في نظرية القيمة المتوسطة
5) عند ايجاد معادلة المماس لمنحنى الدالة د ( س) بإستخدام نظرية القيمة المتوسطة والتي يوازي الوتر الواصل بين النقطتين
( A ، د ( (A ) ، ( ب ، د (ب ) ) نتبع مايلي :
* نحدد مجال الدالة وهو [A ، ب ] الإحداثي السيني للنقطتين المعطاة
* بعد ذلك نستخدم نظرية القيمة المتوسطة ونحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في [ A ، ب ]
ونوجد قيمة جـ بحيث جـ ' ] A ، ب [
· بعد ذلك نحدد نقطة التماس وهي ( جـ ، د ( جـ ) ) حيث جـ التي وجدناها سابقاً و د ( جـ ) نوجدها بالتعويض في الدالة
د ( س ) و دَ ( جـ ) = م أي أن ميل المماس = دَ ( جـ )
* نوجد معادلة المماس والتي تحقق م = ص – ص1 عند النقطة ( جـ ، د ( جـ ) )
س – س1
