الاشتقاق

قواعد الاشتقاق
1) ) مشتقة الدالة الثابتة : -
مشتقة الدالة الثابتة هي الدالة الصفرية أي ان إذا كانت د ( س ) = جـ حيث جـ عدد ثابت فإن
دَ ( س1) = " ( جـ ) = صفر
" س
2) إذا كانت د ( س ) = سن فإن دَ ( س ) = ن س ن -1 ، " ن ' ط

أو بعارة اخرى " ( س ن ) = ن س ن- 1
" س
3) مشتقة حاصل ضرب عدد حقيقي في دالة
ليكن جـ عدد حقيقي فإذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق عند س فإن الدالة ( جـ د ) ( س) أيضاٍ قابلة لللإشتقاق عند س ويكون
( جـ د )َ ( س ) = جـ دَ ( س ) او " ( جـ د ( س ) ) = جـ دَ( س )
" س
4) مشتقة حاصل جمع دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن ( د + ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) + ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) + رَ ( س )
أو " [ د ( س ) + ر ( س ) ] = دَ ( س ) + رَ ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى + الثانية ] = مشتقة الأولى + مشتقة الثانية
5) مشتقة حاصل ضرب دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن حاصل الضرب ( د × ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) × ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
أو " [ د ( س ) × ر ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى × الثانية ] = مشتقة الأولى × الثانية + مشتقة الثانية × الأولى
6) مشتقة الدالة على الصورة [ د ( س ) ] ن
إذا كانت الدالة ص = [ د ( س ) ] ن حيث د ( س ) قابلة للإشتقاق عند س ، ن ' H فإن :
صَ = ن [ د ( س ) ] ن- 1 × دَ ( س )
أي ان مشتقة [ دالة ] ن = ن [ الدالة ] ن- 1 × مشتقة الدالة ( أي مشتقة مابداخل القوس )
7) مشتقة الجذر التربيعي
مشتقة الجذر التربيعي = مشتقة مابداخل الجذر
ضعف الجذر

8) مشتقة دالة كسرية بسطها عدد
إذا كانت د ( س ) = 1 حيث ر ( س ) b 0 ، رَ ( س ) لها وجود فإن دَ( س ) ايضاً لها وجود ويكون
ر ( س )
دَ ( س ) = - ر ( س ) = - مشتقة المقام
[ د ( س ) ]2 [ المقام ]2
9) مشتقة دالة كسرية بسطها ومقامها دوال كثيرة حدود
إذا كانت من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س وإذا كانت ر ( س ) b 0 فإن د قابلة للإشتقاق عند س وتكون
ر

أو " [ د ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) - رَ ( س ) × د ( س )

" س ر( س ) [ ر ( س ) ] 2
أي أن مشتقة[ البسط ] = مشتقة البسط × االمقام - مشتقة المقام × البسط
المقام [ المقام ] 2

تطيبقات المشتقة
اولاً : التطبيقات الهندسية : -

حــــــــــالات خــــــــــــاصـــــــة حــــــــــــول مــــــــــــيل الــــــــممــــــــــاسدَ ( س )

دَ ( س ) لها وجود قيمة عددية غير الصفر

دَ ( س ) = صفر

دَ ( س ) = كمية غير معرفة

A ) معادلة المماس :
دَ ( س ) = ص – ص1
س - س1

ب ) معادلة العمودي على المماس :
- 1 = ص – ص1
دَ ( س ) س - س1



A ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1


AC ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص 1
A ( س1 ، ص1 ) نقطة انكسار أو عدم اتصال لايوجد مماس ولاعمودي

























مــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــلاحــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــظـ ــــــــــــــــــــــــــــــا ت :
1) ميل المماس للمنحنى عند النقطة ( س1 ، ص1 ) = ظــــــــــا ( الزوية التي يصنعها المماس للمنحنى مع الإتجاه الموجب للمحور السيني ) 2) نقطة التماس نقطة مشتركة بين المنحنى والمماس والعمودي على المماس
3) إذا كانت منحنى الدالة عبارة عن خط مستقيم فإن المماس عند أي نقطة علية ينطبق على المنحنى المستقيم وميل المماس = ميل المستقيم
4) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة المماس عند س = س 1
C نوجد نقطة التماس وهي عبارة عن ( س ، ص ) = ( س 1 ، د ( س 1 ) ) وذلك بالتعويض بقيمة س1 في الدالة الأصلية
A نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( س 1 ) = ميل المماس م
B نعوض في القانون دَ ( س1 ) = م = ص – ص 1
س – س1
5) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة العمودي على المماس عند س = س 1
C نتبع الخطوات السابقة ثم نعوض في القانون - 1 = - 1 = ص – ص 1
دَ ( س1 ) م س – س1
5) الخطوات اللازمة لإيجاد الزاوية هـ :
الزاوية هـ = الزاوية التي يصنعها التي بين المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = دَ ( س1 ) = م
الزاوية التي يصنعها التي بين العمودي على المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = - 1 = - 1
دَ ( س1 ) م

للمزيد من مواضيعي

الاشارات

قاعدة الإشارات :

نفس الزاوية 180 – الزاوية

كـــــــــل جـــــــــا قاعد إشارة ظــــا ظـــــــــا( + ) ظـــــــــا( - )

0 G هـ G 180 ( واقعة في الربع الأول والثاني )


جــــــتــــــا ظـــــــــا



ملخص ذلك

المماس عند س = س 1
ميل المماس
1) المماس افقياً أي يوازي المحور السيني
دَ (س 1) = 0
2) المماس رأسياًً أي يوازي المحور الصادي
دَ (س 1) غير معرفة او m
3) يوازي المستقيم الذي ميلة م
دَ (س 1 ) = م
4) عمودي على المستقيم الذي ميله م
دَ (س 1 ) = - 1
م
5) يوازي المستقيم الذي معادلته
A س + ب ص + جـ = 0
دَ (س 1 ) = - A
ب
6) يصنع زاوية هـ مع المحور السينات الموجب
دَ (س 1 ) = ظــــــــا هـ

ثانيا َ : تطبيقات فيزيائية :
:
بالتفاضل
بالنسبة ن

بالتفاضل
بالنسبة ن





المسافة ف السرعة : ع ( ن ) = "ف التسارع ت ( ن ) = "ع
" ن " ن
بالتفاضل مرتين بالنسبة ن




ملاحظات حول حالات الأجسام المقذوفة : -
1) عند قذف جسيم ما = عند انطلاق جسيم ما = نقطة البداية = عند بدء حركة الجسيم = الوضع الأبتدائي ( نعتبر ن = صفر )
2) وبالتالي تكون سرعة قذف الجسيم = سرعة انطلاق الجسيم = سرعته الإبتدائية = ع ( 0 )
3) اقصى ارتفاع ( بُعد ) يصل إلية الجسيم عندما ع ( ن ) = صفر { في الحركة الرأسية }
حيث نحدد قيمة ن وبالتالي نعوض في المسافة ف = د ( ن ) بقيمة ن لإيجاد اقصى ارتفاع
# كذلك نجد سكون الجسيم لحظياً = اللحظة التي يتغير فيها الجسيم اتجاه عند ع ( ن ) = صفر، وكذلك جـ = ت ( ن ) = صفر
أي نحدد قيمة ن وهي اللحظة التي سكن فيها الجسيم لحظياً وهو الزمن الذي ينعدم عنده الحركة
4) عودة الجسيم إلى مكانه الأصلي = ( عودة الجسيم إلى مكانه و ) = النقطة التي قذف منها الجسيم s ف ( ن ) = صفر
وهنا قيمة ن لا تساوي صفر لأنه هذا يعني أن الجسيم لم يتحرك بعد
ملاحظات :
1) تفاضل أي دالة دائرية = مشتقة الزاوية × تفاضل الدالة الدائرية لنفس الزاوية
2) مشتقة ( دالة دائرية ) ن = ن [ الدالة الدائرية ] ن – 1 × مشتقة الزاوية × تفاضل الدالة الدائرية لنفس الزاوية
3) دالة دائرية ن ( لزاوية ما ) = [ الدالة الدائرية ( للزاوي ) ] ن
4) هنالك فرق بين جتا 2 س و جتا س 2 فالدالة الأولى عبارة عن مربع الدالة الدائرية بينما الدالة الثانية عبارة عن
جتا مربع الزاوية ، وبصورة عامة هنالك فرق بين جتا ن س و جتا س ن

د ( س ) الدالة
مشتقة د ( س ) = دً ( س )
شروط الإشتقاق ( المجال )
جـــــــا س
جــــــــتـــــــــا س
معرفة " س 'H

جــــتـــا س
- جـــــــــــــــــا س
معرفة " س 'H

ظـــــــا س
قـــــــــا2 س
معرفة بشرط أن س ¹ ط + N ط N'X
2
ظــــتـــا س
- قـــــــتـــــــــا 2س
معرفة بشرط أن س ¹N ط N'X

قـــــــا س
قــــا س ظـــا س
معرفة بشرط أن س ¹ ط + N ط N'X
2
قـــــتــا س
- قــتـــــــا س ظــتـــا س
معرفة بشرط أن س ¹N ط N'X

بصورة عامة الدالة التي فيها حرف التاء مشتقتها بإشارة سالبة

للمزيد من مواضيعي

التسلسل

قاعدة التسلسل : -
إذا كانت الدالة د قابلة للإشتقاق عند النقطة س والدالة ر قابلة للأشتقاق عند النقطة د ( س ) فإن الدالة المحصلة
ر 5 د تكون قابلة للإشتقاق عند س ويكون :




( ر 5 د ) َ ( س ) = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س )

ملاحظات : -
1) قاعدة التسلسل : ( ر 5 د ) َ ( س ) = [ ر [ د ( س ) ] ]َ = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س )
ولو فرضنا ص = د ( س )

فإن ( ر 5 د )َ ( س ) = [ ر ( ص ) ] َ = " ر × " ص
" ص " س
2) إذا كانت ع = ر ( ص ) ، ص = د( س ) فإن ع = ر ( د ( س ) )

s عَ = " ع = [ ر [ د ( س ) ] ] ~ = رَ [ د ( س ) ] × دَ ( س ) = ر~ [ ص ] × ص ~
" س
مشتقة مشتقة

الدالة × الدالة


" ع
" س





s عَ = " ع = " ع × " ص لأن س ¬ ص ¬ ع
" س " ص " س
" ع
" ص


" ص
" س





3 ) إذا كانت ع = ر ( ص ) { ع دالة في المتغير ص }
ص = د ( س ) { ص دالة في المتغير س }
فإن ع = ر ( د ( س ) ) { ع دالة في المتغير س }
€ تفاضل الدالة ع بالنسبة للمتغير س : " ع كما يلي
" س
1) نوجد تفاضل الدالةع بالنسبة للمتغير ص : " ع
" ص

2) 1) نوجد تفاضل الدالة ص بالنسبة للمتغير س : " ص
" س
3) نحسب " ع = " ع × " ص ثم نعوض عن قيم ص بدلالة س
" س " ص " س
نظرية ( 6 - 1 ) :
إذا كانت د دالة معرفة على الفترة المغلقة [ A ، ب ] وكان :
1) د تأخد قيمة عظمى أو صغرى عند النقطة جـ حيث جـ ' ] A ، ب [


2) دَ ( جـ ) لها وجود
فإن دَ ( جـ ) = 0
ملاحظات : -
1) عند تطبيق النظرية ( 6 – 1 ) نتبع مايلي :
Y نوجد القيم العظمى والصغرى للدالة وذلك بأخد مجال الدالة ونحصر س بين مجال الدالة ونحاول أن نوصل من س إلى قاعدة الدالة المعطاه ومنه نوجد القيم العظمى والصغرى إذا كانت موجودة في المتباينة المتساوية

Y عند تطبيق النظرية لابد من توفر شرطين :
أ ) نساوي القيمة العظمى والصغرى بالدالة د( س) المعطاه نعوض د( س ) بـ د( جـ ) وليكن القيمة العظمى ع = د( جـ ) والصغرى ص = د ( جـ )
بعد ذلك نوجد قيمة جـ والتي تحقق المتساوية السابقة ، وهنا الشرط لابد أن تكون جـ ' ] A ، ب [ أي أن تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة ( أي أن جـ لا تكون عند طرفي المجال [A ، ب ] )
ب) بعد إيجاد قيمة جـ والتي تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة ] A ، ب [ أي عندما تحقق الشرط الثاني نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ ) بتعويض عن قيمة س بـ جـ ( أي لا بد أن تكون دَ ( جـ ) لها وجود )
إذا تحقق الشرطان السابقان نعوض في دَ ( جـ ) عن قيمة جـ ونتحقق أن دَ ( جـ ) = 0
نظرية ( 6 – 2 ) نظرية رول : -
إذا كانت الدالة د :
1 ) متصلة في [ A ، ب ] 2) قابلة للإشتقاق في ] A ، ب [ 3) د ( A ) = د ( ب )
فإنه يوجد عدد واحد على الأقل جـ ' ] A ، ب [ بحيث يكون دَ ( جـ ) = صفر
لتطبيق نظرية رول لابد أن نتبع الخطوات التالية :
( 1) نثبت أن الدالة متصلة على الفترة [ A ، ب ] فإذا تحقق هذا الشرط
( 2 ) نوجد دَ ( س ) ونثبت أن الدالة قابلة للإشتقاق على جميع نقط الفترة ] A ، ب [ فإذا تحقق هذا الشرط
( 3 ) نوجد د (A ) ، د ( ب ) وذلك بالتعويض عن قيمة A و ب في د ( س ) بدل س فإذا كان د (A ) ، د ( ب ) فإن تحقق هذا الشرط فإن الدالة تحقق شروط نظرية رول
( 4) بعد ذلك نحقق النظرية ونذكر أنه $ عدد جـ ' ] A ، ب [ بحيث دَ ( جـ ) = 0
أي نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ ) نوجد قيم جـ والتي تحقق دَ ( جـ ) = 0
وهنا شرط اساسي أن جـ ' ] A ، ب [ { أي أن العدد جـ ينتمي إلى داخل مجال الدالة على فترة مفتوحة أي ان نظرية رول لا تحقق في اطراف الفتر ة }
4) دالة كثيرة الحدود دمتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H واي فترة جزئية منها
5) دالة المقياس دالة متصلة على فتراتها الجزئية المفتوحة وعند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة ولكن دالة المقياس دالة غير قابلة للإشتقاق عند جذورها لأنها نقطة انكسار لأن المشتقة عند جذورها ليس لها وجود ولذلك فإن نظرية رول لايمكن تطبيقها عند جذور المقياس لأن الشرط الثاني من النظرية غير متحقق
6) الدالة الكسرية معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H ماعدا عند اصفار المقام فهي غير معرفة وبالتالي غير قابلة للإشتقاق عند اصفار المقام
7) الدالة الجذرية ذات اس زوجي معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر F 0 ( إذا كان الجذر في البسط )
و ومعرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر > 0 ( إذا كان الجذر في المقام )
8) الدالة الجذرية ذات الأس الفردي معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق " س 'H إذا كانت في البسط
و معرفة ومتصلة وقابلة للإشتقاق بشرط أن مابداخل الجذر ¹ 0 إذا كانت في المقام
9) عند الدالة التي يتغير تعريفها لتحقيق النظرية لابد أن ندرس الإتصال والإشتقاق في فتراتها الجزئية المفتوحة وعند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة

نظرية ( 6 – 3 ) نظرية القيمة المتوسطة -
إذا كانت الدالة د :
1 ) متصلة في [ A ، ب ] 2) قابلة للإشتقاق في ] A ، ب [
فإنه يوجد عدد واحد على الأقل جـ ' ] A ، ب [ بحيث يكون دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )

ب - A
) لكي نطبق نظرية القيمة المتوسطة نتبع مايلي :
1. نثبت أن الدالة متصلة في الفترة [ A ، ب ] إذا تحقق الشرط
2. نثبت أن الدالة قابلة للإشتقاق على الفترة ] A ، ب [ بعد إيجاد دَ ( س ) فإذا تحقق الشرط فإنه
يوجد عدد جـ ' ] A ، ب [ بحيث أن دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )

ب - A
03 ولكي نوجد العدد جـ لابد نتبع ما يلي :
* نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( جـ )
* نوجد د (A ) و د ( ب ) وذلك بالتعويض عن A ، ب في الدالة الأصلية
* بعد ذلك نساوي دَ ( جـ ) = د ( ب ) - د ( A )
ب - A
مع العلم أن هذا الطرف الأخير يساوي قيمة عددية
* نحاول أن نوجد قيمة جـ والتي تحقق المقدار السابق وهنا شرط اساسي أن تكون جـ ' ] A ، ب [
أي أن جـ تنتمي إلى مجال الدالة على فترة مفتوحة وقيم جـ لا تتحقق في اطراف الفترة
4) نلاحظ أن الملاحظات السابقة والتي اخدت في نظرية رول تطبق في نظرية القيمة المتوسطة
5) عند ايجاد معادلة المماس لمنحنى الدالة د ( س) بإستخدام نظرية القيمة المتوسطة والتي يوازي الوتر الواصل بين النقطتين
( A ، د ( (A ) ، ( ب ، د (ب ) ) نتبع مايلي :
* نحدد مجال الدالة وهو [A ، ب ] الإحداثي السيني للنقطتين المعطاة
* بعد ذلك نستخدم نظرية القيمة المتوسطة ونحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في [ A ، ب ]
ونوجد قيمة جـ بحيث جـ ' ] A ، ب [
· بعد ذلك نحدد نقطة التماس وهي ( جـ ، د ( جـ ) ) حيث جـ التي وجدناها سابقاً و د ( جـ ) نوجدها بالتعويض في الدالة
د ( س ) و دَ ( جـ ) = م أي أن ميل المماس = دَ ( جـ )
* نوجد معادلة المماس والتي تحقق م = ص – ص1 عند النقطة ( جـ ، د ( جـ ) )
س – س1

الكشف عن النقاط الحرجة

الكشف عن نوع النقط الحرجة من حيث كونها صغرى محلية اوعظمى محلية :

( أ ) دراسة اتصال الدالة في الفترة [ A ، ب ] مع تحديد مجال د ( س )
( ب ) دراسة الإشتقاق في ] A ، ب [ مع تحديد مجال دَ ( س )
( ج ) دراسة أو البحث عن النقط الحرجة وذلك بوضع دَ ( س ) = 0 أو بوضع دَ ( س ) غير معرفة أو معاً والنقطة الحرجة لابد ان تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة
( د ) نكون الجدول ودراسة اطراد الدالة خلال مجالها فإذا كان ( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة حرجة و :
· نقطة عظمى محلية عندما :

دَ ( س ) = 0

س0

س0

دَ ( س ) = 0

دَ ( س ) > 0

دَ ( س ) > 0

س0

¥

¥ -

دَ ( س ) <>

دَ ( س ) <>

¥

¥ -

¥

¥ -



ثابتة

ثابتة

صفر

صفر

+

+

-

-

( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة عظمى محلية
س < س0 s دَ ( س ) > 0 ( س0 ، د ( س0 ) )
س > س0 s دَ ( س ) <>



( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة عظمى محلية
س < س0 s دَ ( س ) > 0 ( س0 ، د ( س0 ) )
س > س0 s دَ ( س ) = 0 نفطة عظمى محلية



( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة عظمى محلية
س < س0 s دَ ( س ) =0 ( س0 ، د ( س0 ) )
س > س0 s دَ ( س ) <>














· نقطة صغرى محلية عندما :
دَ ( س ) = 0

دَ ( س ) <>

س0

س0

دَ ( س ) > 0

دَ ( س ) = 0

دَ ( س ) <>

س0

¥

¥ -

دَ ( س ) > 0

¥

¥ -

¥

¥ -


ثابتة

+

صفر

صفر

-

-

+








ثابتة


( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة صغرى محلية
س < س0 s دَ ( س ) <>
س > س0 s دَ ( س ) > 0 نفطة صغرى محلية




( س0 ، د ( س0 ) ) قيمة صغرى محلية
س < س0 s دَ ( س ) <0>
س > س0 s دَ ( س ) = 0 نفطة صغرى محلية



( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة صغرى محلية
س < س0 s دَ ( س ) = 0 ( س0 ، د ( س0 ) )
س > س0 s دَ ( س ) > 0 نفطة صغرى محلية








· نقطة حرجة فقط عندما :
دَ ( س ) = 0

س0

س0

دَ ( س ) <>

دَ ( س ) <>

دَ ( س ) > 0

س0

¥

¥ -

دَ ( س ) > 0

دَ ( س ) = 0

¥

¥ -

¥

¥ -


ثابتة

ثابتة

صفر

صفر

-

-

+

+








7) النقط الحرجة لاتكون نقط عظمى أو صغرى محلية إلا إذا تغيرت اشارة دَ ( س ) حولها
8) هنا لابد أن تلاحظ أن النقط الحرجة لابد أن تنتمي إلى مجال الدالة على فترة مفتوحة
9) إذا تغيرت علامة التباين تصبح القيمة عظمى وإذا لم تتغير تصبح صغرى

10) النقط الحرجة سواء للدالة د ( س ) ، دَ ( س ) :
دَ ( س ) = 0 أو دً ( س ) = 0 { دالة كثيرة الحدود ، الدالة الكسرية في البسط
او دالة المقياس في الفترات الجزئية المفتوحة ، أو الدوال التي يتغير تعريفها في الفترات الجزئية المفتوحة }
نبحث عن النقط الحرجة وذلك بوضع او إذا لم يوجد امكانية
دَ ( س ) أو دً( س ) غير معرفة ( غير موجودة ) عند حالات عدم التعريف في الدوال الكسرية في المقام ،
جذور المقياس أو في الدوال التي يتغير عندها تعريف الدالة والمشتقة عندها ليس لها وجود
وهنا لابد ان تكون النقطة تنتمي لمجال الدالة على فترة مفتوحة

9) كل نقطة حرجة للدالة د ( س ) ليس من الضروري أن تكون نقطة عظمى او صغرى محلية
ولكن كل نقطة عظمى أو صغرى محلية لابد أن تكون نقطة حرجة للدالة د ( س )
10 ) كل نقطة حرجة للدالة دَ ( س ) ليس من الضروري أن تكون نقطة انقلاب
ولكن كل نقطة انقلاب لابد أن تكون نقطة حرجة للدالة دَ ( س )
11) النقط الحرجة للدالة د ( س ) أو دَ ( س ) لابد ان تنتمي إلى مجال الدالة على فترة مفتوحة أي ان سL ] A ، ب [
12) خطوات دراسة التقعر :
ü نحدد مجال الدالة
ü نثبت ان الدالة متصلة خلال مجالها
ü نبحث قابلة الإشتقاق خلال مجالها على فترة مفتوحة
ü نوجد دَ ( س ) ومنه نحدد مجال دَ ( س )
ü نوجد دً ( س ) ومنه نحدد مجال دً ( س )
ü نوجد النقط الحرجة للدالة دَ ( س ) وذلك بوضع دً ( س ) = 0 أو دً ( س ) كمية غير معرفة وهنا شرط أن لابد أن نكون قيمة س تنتمي إلى مجال الدالة على فترة مفتوحة
ü ندرس اتجاه تقعر الدالة وذلك بدراسة اشارة دً ( س ) والبحث عن نقط الإنقلاب إن وجدت
ü تكون الدالة لها نقط انقلاب إذا تغيرت اشارة دً ( س ) حول النقط الحرجة للدالة :


ü نقطة انقلاب عندما :
س0

دً ( س ) >0

دً ( س ) <>

دً ( س ) > 0

س0

¥

¥ -

دً ( س ) <>

¥

¥ -



( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة انقلاب
س < س0 s دً ( س ) > 0 ( س0 ، د ( س0 ) )
س > س0 s دً ( س ) <>



( س0 ، د ( س0 ) ) نقطة انقلاب
س < س0 s دً ( س ) <0>
س > س0 s دً ( س ) > 0 نفطة اقلاب


+

-

+

-










ü نقط حرجة فقط عندما
دً ( س ) <>

دً( س ) <>

دً( س ) > 0

س0

¥

¥ -

دً ( س ) > 0

¥

¥ -


س0

-

-

ليست نقطة انقلاب
نقطة حرجة

+

+

ليست نقطة انقلاب
نقطة حرجة