f(x) = x2 +3x +1
** اتفاق :
اذا كان مجال ومدى الدالة R فاننا لا نكتبهما , لذلك الدالة في المثال السابق نكتبها بالشكل التالي :
أمثلة :
1) معطاة الدالة f(x) = 3x+5
ملخصات للمواد والاختبارات النهائية وحلقات مسلسلات تحريرية واخبار رياضية وعربية كل ذلك في مدونة my School
1- الاعداد الطبيعية : ونرمز لها بالحرف Ν.
وهي جميع الاعداد الصحيحة الموجبة .
أمثلة : {.....,3 , 2 , 1}
2- الاعداد الصحيحة : ونرمز لها بالحرف Z .
وهي جميع الاعداد الصحيحة الموجبة , السالبة والصفر .
أمثلة : { ..... ,3, 2, 1, ........,0, 3-, 2-, 1-,....... }
3- الاعداد النسبية : ونرمز لها بالحرفQ .
وهي جميع الاعداد التي نستطيع كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين .
أمثلة : {..... , 3 , ⅓ ,5/9- , ⅛ , ⅔ , 0 , 2- , 9 }
4- الاعداد غير النسبية : ونرمز لها بالحرف J .
وهي جميع الاعداد التي لا نستطيع كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين .
أمثلة : جميع جذور الاعداد الاولية {....., , }
5- الاعداد الحقيقية : ونرمز لها بالحرف R .
وهي جميع الاعداد السابقة .
نستطيع ان نبين العلاقة بين مجموعات الاعداد
J Q=R
نرمز للدوال باحرف لاتينية صغيرة مثل : .... f , g , h
ونعبر عن الدالة باشكال مختلفة منها :
أ- القائمة .
ب- الكلام .
ت- الطريقة الجبرية .
ث- الطريقة البيانية .
أو بعارة اخرى " ( س ن ) = ن س ن- 1
" س
3) مشتقة حاصل ضرب عدد حقيقي في دالة
ليكن جـ عدد حقيقي فإذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق عند س فإن الدالة ( جـ د ) ( س) أيضاٍ قابلة لللإشتقاق عند س ويكون
( جـ د )َ ( س ) = جـ دَ ( س ) او " ( جـ د ( س ) ) = جـ دَ( س )
" س
4) مشتقة حاصل جمع دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن ( د + ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) + ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) + رَ ( س )
أو " [ د ( س ) + ر ( س ) ] = دَ ( س ) + رَ ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى + الثانية ] = مشتقة الأولى + مشتقة الثانية
5) مشتقة حاصل ضرب دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن حاصل الضرب ( د × ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) × ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
أو " [ د ( س ) × ر ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى × الثانية ] = مشتقة الأولى × الثانية + مشتقة الثانية × الأولى
6) مشتقة الدالة على الصورة [ د ( س ) ] ن
إذا كانت الدالة ص = [ د ( س ) ] ن حيث د ( س ) قابلة للإشتقاق عند س ، ن ' H فإن :
صَ = ن [ د ( س ) ] ن- 1 × دَ ( س )
أي ان مشتقة [ دالة ] ن = ن [ الدالة ] ن- 1 × مشتقة الدالة ( أي مشتقة مابداخل القوس )
7) مشتقة الجذر التربيعي
مشتقة الجذر التربيعي = مشتقة مابداخل الجذر
ضعف الجذر
8) مشتقة دالة كسرية بسطها عدد
إذا كانت د ( س ) = 1 حيث ر ( س ) b 0 ، رَ ( س ) لها وجود فإن دَ( س ) ايضاً لها وجود ويكون
ر ( س )
دَ ( س ) = - ر ( س ) = - مشتقة المقام
[ د ( س ) ]2 [ المقام ]2
9) مشتقة دالة كسرية بسطها ومقامها دوال كثيرة حدود
إذا كانت من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س وإذا كانت ر ( س ) b 0 فإن د قابلة للإشتقاق عند س وتكون
ر
أو " [ د ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) - رَ ( س ) × د ( س )
" س ر( س ) [ ر ( س ) ] 2
أي أن مشتقة[ البسط ] = مشتقة البسط × االمقام - مشتقة المقام × البسط
المقام [ المقام ] 2
تطيبقات المشتقة
اولاً : التطبيقات الهندسية : -
حــــــــــالات خــــــــــــاصـــــــة حــــــــــــول مــــــــــــيل الــــــــممــــــــــاسدَ ( س )
دَ ( س ) لها وجود قيمة عددية غير الصفر
دَ ( س ) = صفر
دَ ( س ) = كمية غير معرفة
A ) معادلة المماس :
دَ ( س ) = ص – ص1
س - س1
ب ) معادلة العمودي على المماس :
- 1 = ص – ص1
دَ ( س ) س - س1
A ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص1
ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1
AC ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1
ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص 1
A ( س1 ، ص1 ) نقطة انكسار أو عدم اتصال لايوجد مماس ولاعمودي
مــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــلاحــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــظـ ــــــــــــــــــــــــــــــا ت :
1) ميل المماس للمنحنى عند النقطة ( س1 ، ص1 ) = ظــــــــــا ( الزوية التي يصنعها المماس للمنحنى مع الإتجاه الموجب للمحور السيني ) 2) نقطة التماس نقطة مشتركة بين المنحنى والمماس والعمودي على المماس
3) إذا كانت منحنى الدالة عبارة عن خط مستقيم فإن المماس عند أي نقطة علية ينطبق على المنحنى المستقيم وميل المماس = ميل المستقيم
4) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة المماس عند س = س 1
C نوجد نقطة التماس وهي عبارة عن ( س ، ص ) = ( س 1 ، د ( س 1 ) ) وذلك بالتعويض بقيمة س1 في الدالة الأصلية
A نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( س 1 ) = ميل المماس م
B نعوض في القانون دَ ( س1 ) = م = ص – ص 1
س – س1
5) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة العمودي على المماس عند س = س 1
C نتبع الخطوات السابقة ثم نعوض في القانون - 1 = - 1 = ص – ص 1
دَ ( س1 ) م س – س1
5) الخطوات اللازمة لإيجاد الزاوية هـ :
الزاوية هـ = الزاوية التي يصنعها التي بين المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = دَ ( س1 ) = م
الزاوية التي يصنعها التي بين العمودي على المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = - 1 = - 1
دَ ( س1 ) م للمزيد من مواضيعي
قـــــــا س
قــــا س ظـــا س
معرفة بشرط أن س ¹ ط + N ط N'X
2
قـــــتــا س
- قــتـــــــا س ظــتـــا س
معرفة بشرط أن س ¹N ط N'X
بصورة عامة الدالة التي فيها حرف التاء مشتقتها بإشارة سالبة