××××××××××××××××

اهلا بك عزيزي القارئ

الأربعاء، ١ سبتمبر ٢٠١٠

الطريقة الجبرية

الطريقة الجبرية
وفقا لهذه الطريقة يتم التعبير عن الدالة بالشكل التالي :
المدى → المجال : f
f(x) = صورة عدد تمثل الدالة
مثال :
f : R→ R
f(x) = x2 +3x +1
بحيث انx تمثل المصدر و f(x) تمثل صورة المصدر .
** اتفاق :
اذا كان مجال ومدى الدالة R فاننا لا نكتبهما , لذلك الدالة في المثال السابق نكتبها بالشكل التالي :
F(x) = x2 +3x +1

أمثلة :
1) معطاة الدالة f(x) = 3x+5
f(1) = 3 ∙ 1+5 = 3+5 = 8
f(0) = 3 ∙ 0 +5 = 0+5 = 5
f(-1) =_________________
f(2) =__________________
f(⅓) =__________________
f(-⅔) =_________________

الدوال

الدوال
معطاة العلاقة التالية بين عناصر مجموعتين a وb .

● ●
● ●
● ●
● ●
● ●
ba
العلاقة بين عناصر المجموعة a و بين عناصر المجموعة b تدعى تناظر .
المجموعة a تدعى مجال التناظر والمجموعة b تدعى مدى التناظر .
كل عنصر في المجموعة a ( المجال ) يدعى مصدر أو أصل .
كل عنصر في المجموعة b ( المدى ) وله مصدر يدعى صورة .

** ملاحظة : -
ليس كل عنصر في المدى هو صورة , فقط العناصر التي يوجد لها مصادر تسمى صور .
للمزيد من مواضيعي

الدالة

الدالة :-

هي تناظر فيه لكل مصدر توجد صورة واحدة فقط .

مجموعات الاعداد :


1- الاعداد الطبيعية : ونرمز لها بالحرف Ν.
وهي جميع الاعداد الصحيحة الموجبة .
أمثلة : {.....,3 , 2 , 1}

2- الاعداد الصحيحة : ونرمز لها بالحرف Z .
وهي جميع الاعداد الصحيحة الموجبة , السالبة والصفر .
أمثلة : { ..... ,3, 2, 1, ........,0, 3-, 2-, 1-,....... }

3- الاعداد النسبية : ونرمز لها بالحرفQ .
وهي جميع الاعداد التي نستطيع كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين .
أمثلة : {..... , 3 , ⅓ ,5/9- , ⅛ , ⅔ , 0 , 2- , 9 }

4- الاعداد غير النسبية : ونرمز لها بالحرف J .
وهي جميع الاعداد التي لا نستطيع كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين .
أمثلة : جميع جذور الاعداد الاولية {....., , }

5- الاعداد الحقيقية : ونرمز لها بالحرف R .
وهي جميع الاعداد السابقة .

نستطيع ان نبين العلاقة بين مجموعات الاعداد







J Q=R

نرمز للدوال باحرف لاتينية صغيرة مثل : .... f , g , h
ونعبر عن الدالة باشكال مختلفة منها :
أ‌- القائمة .
ب‌- الكلام .
ت‌- الطريقة الجبرية .
ث‌- الطريقة البيانية .

للمزيد من مواضيعي

معدل تغير الدالة

معدل تغير دالة :
1) دائماً نعتبر س1 + هـ القيمة التي تأتي بعد حرف الجر ( إلى ) ونعتبر
س1 هي القيمة التي تأتي بعد حرف الجر ( من )
2) الخطوات اللازمة لإيجاد قيمة م : -
c نوجد الدالة د( س) إذا لم تعطي بصورة صريحة في السؤال
a نوجد قيمة د (س1+هـ ) ، د (س1 )
b نوجد قيمة هـ حيث هـ = س1 + هـ - س1
i نعوض في القانون م = د (س1 + هـ ) - د ( س1)
هـ
معدل تغير دالة :
1) دائماً نعتبر س1 + هـ القيمة التي تأتي بعد حرف الجر ( إلى ) ونعتبر
س1 هي القيمة التي تأتي بعد حرف الجر ( من )
2) الخطوات اللازمة لإيجاد قيمة م : -
c نوجد الدالة د( س) إذا لم تعطي بصورة صريحة في السؤال
a نوجد قيمة د (س1+هـ ) ، د (س1 )
b نوجد قيمة هـ حيث هـ = س1 + هـ - س1
i نعوض في القانون م = د (س1 + هـ ) - د ( س1)
هـ

الاشتقاق

قواعد الاشتقاق
1) ) مشتقة الدالة الثابتة : -
مشتقة الدالة الثابتة هي الدالة الصفرية أي ان إذا كانت د ( س ) = جـ حيث جـ عدد ثابت فإن
دَ ( س1) = " ( جـ ) = صفر
" س
2) إذا كانت د ( س ) = سن فإن دَ ( س ) = ن س ن -1 ، " ن ' ط


أو بعارة اخرى " ( س ن ) = ن س ن- 1
" س
3) مشتقة حاصل ضرب عدد حقيقي في دالة
ليكن جـ عدد حقيقي فإذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق عند س فإن الدالة ( جـ د ) ( س) أيضاٍ قابلة لللإشتقاق عند س ويكون
( جـ د )َ ( س ) = جـ دَ ( س ) او " ( جـ د ( س ) ) = جـ دَ( س )
" س
4) مشتقة حاصل جمع دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن ( د + ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) + ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) + رَ ( س )
أو " [ د ( س ) + ر ( س ) ] = دَ ( س ) + رَ ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى + الثانية ] = مشتقة الأولى + مشتقة الثانية
5) مشتقة حاصل ضرب دالتين : -
إذا كانت كلاً من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س فإن حاصل الضرب ( د × ر ) قابلة للإشتقاق عند س وتكون
[ د ( س) × ر ( س ) ] َ = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
أو " [ د ( س ) × ر ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) + رَ ( س ) × د ( س )
" س
أي أن مشتقة [ الأولى × الثانية ] = مشتقة الأولى × الثانية + مشتقة الثانية × الأولى
6) مشتقة الدالة على الصورة [ د ( س ) ] ن
إذا كانت الدالة ص = [ د ( س ) ] ن حيث د ( س ) قابلة للإشتقاق عند س ، ن ' H فإن :
صَ = ن [ د ( س ) ] ن- 1 × دَ ( س )
أي ان مشتقة [ دالة ] ن = ن [ الدالة ] ن- 1 × مشتقة الدالة ( أي مشتقة مابداخل القوس )
7) مشتقة الجذر التربيعي
مشتقة الجذر التربيعي = مشتقة مابداخل الجذر
ضعف الجذر

8) مشتقة دالة كسرية بسطها عدد
إذا كانت د ( س ) = 1 حيث ر ( س ) b 0 ، رَ ( س ) لها وجود فإن دَ( س ) ايضاً لها وجود ويكون
ر ( س )
دَ ( س ) = - ر ( س ) = - مشتقة المقام
[ د ( س ) ]2 [ المقام ]2
9) مشتقة دالة كسرية بسطها ومقامها دوال كثيرة حدود
إذا كانت من الدالتين د ، ر دالتين قابلتين للإشتقاق عند س وإذا كانت ر ( س ) b 0 فإن د قابلة للإشتقاق عند س وتكون
ر

أو " [ د ( س ) ] = دَ ( س ) × ر ( س ) - رَ ( س ) × د ( س )


" س ر( س ) [ ر ( س ) ] 2
أي أن مشتقة[ البسط ] = مشتقة البسط × االمقام - مشتقة المقام × البسط
المقام [ المقام ] 2

تطيبقات المشتقة
اولاً : التطبيقات الهندسية : -

حــــــــــالات خــــــــــــاصـــــــة حــــــــــــول مــــــــــــيل الــــــــممــــــــــاسدَ ( س )

دَ ( س ) لها وجود قيمة عددية غير الصفر

دَ ( س ) = صفر

دَ ( س ) = كمية غير معرفة

A ) معادلة المماس :
دَ ( س ) = ص – ص1
س - س1

ب ) معادلة العمودي على المماس :
- 1 = ص – ص1
دَ ( س ) س - س1



A ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1


AC ) المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور الصادي )
ومعادلته : س = س1

ب ) العمودي على المماس // ( يوازي او ينطبق على المحور السيني )
ومعادلته : ص = ص 1
A ( س1 ، ص1 ) نقطة انكسار أو عدم اتصال لايوجد مماس ولاعمودي

























مــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــلاحــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــظـ ــــــــــــــــــــــــــــــا ت :
1) ميل المماس للمنحنى عند النقطة ( س1 ، ص1 ) = ظــــــــــا ( الزوية التي يصنعها المماس للمنحنى مع الإتجاه الموجب للمحور السيني ) 2) نقطة التماس نقطة مشتركة بين المنحنى والمماس والعمودي على المماس
3) إذا كانت منحنى الدالة عبارة عن خط مستقيم فإن المماس عند أي نقطة علية ينطبق على المنحنى المستقيم وميل المماس = ميل المستقيم
4) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة المماس عند س = س 1
C نوجد نقطة التماس وهي عبارة عن ( س ، ص ) = ( س 1 ، د ( س 1 ) ) وذلك بالتعويض بقيمة س1 في الدالة الأصلية
A نوجد دَ ( س ) ومنه نوجد دَ ( س 1 ) = ميل المماس م
B نعوض في القانون دَ ( س1 ) = م = ص – ص 1
س – س1
5) الخطوات اللازمة اتباعها لإيجاد معادلة العمودي على المماس عند س = س 1
C نتبع الخطوات السابقة ثم نعوض في القانون - 1 = - 1 = ص – ص 1
دَ ( س1 ) م س – س1
5) الخطوات اللازمة لإيجاد الزاوية هـ :
الزاوية هـ = الزاوية التي يصنعها التي بين المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = دَ ( س1 ) = م
الزاوية التي يصنعها التي بين العمودي على المماس والمحور السيني في الإتجاه الموجب s ظــــــا هـ = - 1 = - 1
دَ ( س1 ) م

للمزيد من مواضيعي

الاشارات

قاعدة الإشارات :

نفس الزاوية 180 – الزاوية

كـــــــــل جـــــــــا قاعد إشارة ظــــا ظـــــــــا( + ) ظـــــــــا( - )

0 G هـ G 180 ( واقعة في الربع الأول والثاني )


جــــــتــــــا ظـــــــــا



ملخص ذلك

المماس عند س = س 1
ميل المماس
1) المماس افقياً أي يوازي المحور السيني
دَ (س 1) = 0
2) المماس رأسياًً أي يوازي المحور الصادي
دَ (س 1) غير معرفة او m
3) يوازي المستقيم الذي ميلة م
دَ (س 1 ) = م
4) عمودي على المستقيم الذي ميله م
دَ (س 1 ) = - 1
م
5) يوازي المستقيم الذي معادلته
A س + ب ص + جـ = 0
دَ (س 1 ) = - A
ب
6) يصنع زاوية هـ مع المحور السينات الموجب
دَ (س 1 ) = ظــــــــا هـ
ثانيا َ : تطبيقات فيزيائية :
:
بالتفاضل
بالنسبة ن

بالتفاضل
بالنسبة ن





المسافة ف السرعة : ع ( ن ) = "ف التسارع ت ( ن ) = "ع
" ن " ن
بالتفاضل مرتين بالنسبة ن




ملاحظات حول حالات الأجسام المقذوفة : -
1) عند قذف جسيم ما = عند انطلاق جسيم ما = نقطة البداية = عند بدء حركة الجسيم = الوضع الأبتدائي ( نعتبر ن = صفر )
2) وبالتالي تكون سرعة قذف الجسيم = سرعة انطلاق الجسيم = سرعته الإبتدائية = ع ( 0 )
3) اقصى ارتفاع ( بُعد ) يصل إلية الجسيم عندما ع ( ن ) = صفر { في الحركة الرأسية }
حيث نحدد قيمة ن وبالتالي نعوض في المسافة ف = د ( ن ) بقيمة ن لإيجاد اقصى ارتفاع
# كذلك نجد سكون الجسيم لحظياً = اللحظة التي يتغير فيها الجسيم اتجاه عند ع ( ن ) = صفر، وكذلك جـ = ت ( ن ) = صفر
أي نحدد قيمة ن وهي اللحظة التي سكن فيها الجسيم لحظياً وهو الزمن الذي ينعدم عنده الحركة
4) عودة الجسيم إلى مكانه الأصلي = ( عودة الجسيم إلى مكانه و ) = النقطة التي قذف منها الجسيم s ف ( ن ) = صفر
وهنا قيمة ن لا تساوي صفر لأنه هذا يعني أن الجسيم لم يتحرك بعد
ملاحظات :
1) تفاضل أي دالة دائرية = مشتقة الزاوية × تفاضل الدالة الدائرية لنفس الزاوية
2) مشتقة ( دالة دائرية ) ن = ن [ الدالة الدائرية ] ن – 1 × مشتقة الزاوية × تفاضل الدالة الدائرية لنفس الزاوية
3) دالة دائرية ن ( لزاوية ما ) = [ الدالة الدائرية ( للزاوي ) ] ن
4) هنالك فرق بين جتا 2 س و جتا س 2 فالدالة الأولى عبارة عن مربع الدالة الدائرية بينما الدالة الثانية عبارة عن
جتا مربع الزاوية ، وبصورة عامة هنالك فرق بين جتا ن س و جتا س ن


د ( س ) الدالة
مشتقة د ( س ) = دً ( س )
شروط الإشتقاق ( المجال )
جـــــــا س
جــــــــتـــــــــا س
معرفة " س 'H

جــــتـــا س
- جـــــــــــــــــا س
معرفة " س 'H

ظـــــــا س
قـــــــــا2 س
معرفة بشرط أن س ¹ ط + N ط N'X
2
ظــــتـــا س
- قـــــــتـــــــــا 2س
معرفة بشرط أن س ¹N ط N'X



قـــــــا س
قــــا س ظـــا س
معرفة بشرط أن س ¹ ط + N ط N'X
2
قـــــتــا س
- قــتـــــــا س ظــتـــا س
معرفة بشرط أن س ¹N ط N'X

بصورة عامة الدالة التي فيها حرف التاء مشتقتها بإشارة سالبة

للمزيد من مواضيعي