رسم المنحيات

أي منحنى للدالة د ( س ) هو عبارة عن مجموعة من النقط ( س ، د ( س ) ) = ( س ، ص ) واي نقطة من المنحنى يجب أن تحقق المعادلة ص = د ( س )

ولرسم منحنى الدالة د لابد أن نتبع الخطوات التالية :
œ نعين مجال الدالة د ( س ) :

مجال الدالة : هي القيم التي تكون الدالة معرفة عليها
مجالات بعض الدوال :
? دالة كثيرة الحدود مجالها H? دالة المقياس مجالها H
? دالة الصحيح مجالها H
? الدالة الكسرية مجالها معرف بشرط أن المقام ¹ 0 أي أن المجال = H - { اصفار المقام }
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر أكبر أويساوي الصفر ( £ ) إذا كانت في البسط
? الدالة الجذرية ذات اس زوجي
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر أكبر الصفر ( > ) إذا كانت في المقام

معرفة " سHL ( أي ان مجالها H ) إذا كانت في البسط
? الدالة الجذرية ذات اس فردي
معرفة بشرط ان مابداخل الجذر ¹ 0 ( أي أن مجالها H - { اصفار المقام } )
إذا كانت في المقام
œ التناظر :

( أ ) الدالة الزوجية : المنحنى متناظر حول محور الصادات وشرطها :





د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعوض عن قيم س بـــ ( - س ) فإذا كانت د ( - س ) = د ( س ) كانت الدالة زوجية
مع ملاحظة :
س ن عندما ن عدد زوجي
1) ليكن س 'H فإن ( - س )ن =
- س ن عندما ن عدد فردي
2) ô - س ô = ô س ô ، جــــتــــا ( - س ) = جــــتــــا ( س )
3) ظــــــا ( - س ) = - ظــــــا س ، جـــــــا ( - س ) = - جـــــــا س
وهنا في الدالة الزوجية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول المحور الصادي

( ب ) الدالة الفردية : المنحنى متناظر حول نقطة الأصل وشرطها :





- د ( س ) = د ( - س ) " سHL

أي أن نأخد الدالة د ( س ) ونعكس الإشارة لقاعدتها ونقارنها بـــ د ( - س ) فإذا كانت - د (س ) = د (- س ) كانت الدالة فردية
مع ملاحظة :
1) - د ( س ) أي نعكس إشارة الدالة إذا كانت دالة كثيرة حدود
2) في الدالة الكسرية نعكس اشارة البسط أو المقام على حسب المراد تغيير اشارتها
3) في دالة المقياس والدالة الجذرية لايمكن الضرب بإشارة ( - ) لذا نكتفي المقارنة لإيجاد - د ( س ) بـ ( - || ) أو( - )
4) لايمكن ان تكون الدالة زوجية وفردية في نفس الوقت

X

X

X

وهنا في الدالة الفردية يكفي الرسم الجزء الواقع في [ 0 ، m [ ثم اكمال الرسم بالتناظر حول نقطة الأصل ويتم ذلك اجراء نصف دورة حول نقطة الأصل ( أو التناظر حول محور الصادات يليه تناظر حول محور السينات )

S

ص = س2
س2 + 1

S

ص = س2


دوال زوجية

S

ص = جـتا س


ط
2


- ط
2









X

X

X


S

ص = س3


دوال فردية

S

ص = جــا س


ط



دوران مقداره 180


S

ص = س
س2 + 1










œ نقط التقاطع مع المحورين :





G نقط التقاطع مع المحور الصادي ( X ) : نضع س = 0

فيكون ( 0 ، ص1 ) ، ( 0 ، ص2 ) ، ......... ، ( 0 ، صن ) هي نقط التقاطع مع المحور الصادي



A نقط التقاطع مع المحور السيني ( S ) : نضع ص = 0

فيكون ( 0 ، س1 ) ، ( 0 ، س2 ) ، ......... ، ( 0 ، سن ) هي نقط التقاطع مع المحور السيني

œ نعين القيم العظمى والصغرى المحلية :

نوجد النقط الحرجة للدالة د ( س ) وذلك بوضع دَ ( س ) = 0 أو دَ ( س ) كمية غير معرفة ثم دراسة اطراد الدالة عن طريق دراسة اشارة دَ ( س ) ومنه استنتاج القيم العظمى والصغرى المحلية إن وجدت
وهنا لابد أن نلاحظ لدراسة النقط الحرجة للدالة د ( س ) :
1) نضع دَ ( س ) = 0 في { دالة كثيرة الحدود أو في الدالة الجذرية والواقعة في البسط }
2) في الدالة التي يتغير عندها تعريف الدالة ( مثل دالة المقياس )
* دَ ( س ) = 0 في الفترات الجزئية المفتوحة
* دَ ( س ) كمية غير معرفة عند النقط التي يتغير عندها تعريف الدالة والتي تكون عندها غير قابلة للإشتقاق { مثل جذور المقياس }
3) في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) = 0 وهذ1 معناه ( أن البسط = 0 )
مع ملاحظة إذا كان البسط = عدد ، من المستحيل ان البسط = 0
إذا لم يوجد امكانية أن دَ ( س ) = 0 في الدالة الكسرية نضع دَ ( س ) غير معرفة وهذا معناه ( أن المقام = 0 )
وهنا شرط اساسي لجميع النقط الحرجة لابد ان تنتمي لمجال الدالة د ( س ) على فترة مفتوحة


أو هنالك طريقة اخرى لإيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية :
وذلك بتحديد النقط التي تجعل دَ ( س0 ) = 0 وبعد ذلك نعوض عن قيم س0 في دً ( س ) فإذا كانت :
دً ( س 0 ) > 0 s د ( س 0 ) قيمة صغرى محلية
دً ( س 0 ) < face="Zawawi">s د ( س 0 ) قيمة عظمى محلية
وهنا لابد ان نلاحظ لقاعدة الإشارات :
1) الدالة الخطية ص = A س + ب دالة من الدرجة الأولى الدالة تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها

A > 0 الدالة موجبة فقط بين جذريها سالبة
م > 0 ( أي نعكس الإشارة لــ A بين الجذرين )
2) الدالة من الدرجة الثانية A <>
ص = A س2 + ب س + جـ
A > 0 الدالة موجبة
م G 0
A <>
( مع ملاحظة دالة : س2 + عدد ¹ 0 ودائماً موجبة )
موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
3) ( س ) ن
تعامل كأنها دالة خطية إذا كانت الأس ن عدد فردي ( لاحظي جذرها = صفر )

موجبة إذا كانت الأس ن عدد زوجي
4) ( د ( س ) ) ن
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت الأس ن عدد فردي


ن موجبة إذا كانت جذر تربيعي أو بجذر زوجي
5) د ( س ) =
تعامل على حسب مابداخلها إذا كانت االجذر بإس عدد فردي

6) دالة المقياس في الأصل موجبة ولكن لابد من اعادة تعريفها ودراسة اشارتها
7) في دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة تحلل إلى دالتين من الدرجة الأولى ودالة من الدرجة الثانية مع ملاحظة :
دالة من الدرجة الثانية م <>
س3 ± عدد = 3
دالة خطية : س ± عدد (تتبع اشارة A يمين جذرها وعكس اشارة A يسار جذرها )
وفي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة تحلل إلى دالتين من الدرجة الثانية
8) في الدالة الكسرية ندرس اشارة البسط واشارة المقام ثم نوجد اشارة الناتج
9) لدراسة اشارة العدد إذا كانت العدد موجب فهو موجب وإذا كان العدد سالب فهو سالب

œ دراسة التقعر ونقط الإنقلاب :

وذلك بتحديد النقط الحرجة لــ دَ ( س ) وذلك بوضع دً ( س ) = 0 أو دً ( س ) كمية غير معرفة
ثم دراسة تقعر الدالة بدراسة اشارة دً ( س ) ومنه نستنتج اتجاه تقعر المنحنى وتحديد نقط الإنقلاب إن وجدت حيث :
دً ( س ) > 0 s المنحنى مقعر لأعلى
دً ( س ) < >s المنحنى مقعر لأسفل




œ نعين الخطوط التقاربية :
الخطوط التقاربية : هي المماسات للمنحنى في اللانهاية وتنقسم إلى ثلاث خطوط تقاربية
G الخطوط التقاربية الأسية :
إذا كانت الدالة ص = د ( س ) وامكن ايجاد عدد A L H بحيث تجعل الدالة غير معرفة أي نــــــهـــا د ( س ) = ±m


سA¬
فإنه يوجد خط تقاربي رأسي معادلته س = A لأنه رأسي ( س = العدد الذي يجعل الدالة د ( س ) غير معرفة )
A الخطوط التقاربية الأفقية :
إذا كانت الدالة ص = د ( س ) وامكن ايجاد عدد جـ LH بحيث عند التعويض عن قيم س عندما تؤول إلى ±m
أي ان س ¬±m تعطي تعطي عدد أي ان نــــــهـــا د ( س ) = جـ
س m±¬



فإنه يوجد خط تقاربي افقي معادلته ص = جـ لأنه خط افقي
ملاحظات مهمة على الخط الأفقي :
1) إذا كانت درجة البسط = درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = معامل س ذات اكبر اس في البسط
س m±¬ معامل س ذات اكبر اس في المقام





أي أن ص = = معامل س ذات اكبر اس في البسط
معامل س ذات اكبر اس في المقام

2) إذا كانت درجة البسط > درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = m ( أي انه لايوجد خط تقاربي افقي )
س m±¬
3) إذا كانت درجة البسط < درجة المقام s نـــــــهــــــــــا د ( س ) = صفر
س m±¬
أي انه الخط التقاربي الأفقي s ص = صفر

B الخطوط التقاربية المائلة :


وهو الخط المستقيم الذي يقترب منه منحنى الدالة ص = د ( س ) كلما ابتعدنا عن نقطة الأصل في اتجاه احد طرفي المستقيم أو كليهما وتكون معادلته
ص = A س + ب دالة خطية ، وللرسم نعوض عن قيم س لإيجاد قيم ص بفرض نقاط

( أي ان عندما س m±¬s ص = A س + ب )
ويتحقق الخط التقاربي المائل في الدالة الكسرية التي تكون درجة البسط اكبر من درجة المقام بدرجة واحدة فقط
كيفية الحصول علية :
ويمكن الحصول عليه من قسمة بسط الدالة على مقامها ويكون الناتج ( خارج القسمة ) هو معادلة الخط التقاربي المائل



أي أن ص = ناتج القسمة دالة خطية خط تقاربي مائل

ملاحظات هامة ( خواص الخطوط التقاربية ) :
1) لا توجد خطوط تقاربية لدوال كثيرة الحدود ودالة المقياس لأنها دوال معرفة " س HL
2) لايوجد اكثر من نوعين من الخطوط التقاربية لاي دالة
3) وجود الخط التقاربي الافقي يمنع وجود الخط المائل والعكس صحيح فوجود المائل يمنع وجود الأفقي
4) يوجد خط تقاربي مائل في حالة واحدة فقط وهي أن تكون درجة البسط اكبر من درجة المقام بدرجة واحدة فقط
5) إذا كان درجة البسط اكبر من درجة المقام بأكثر من درجة فلا يوجد خط تقاربي مائل او افقي
œ تحديد نقاط مساعدة في رسم المنحنى :
فرض قيم لـ س لإيجاد قيم لـ ص ثم تحديد النقط على المستوى
œ تكوين جدول يلخص النقاط التي استنتجت سابقاً

للمزيد من مواضيعي